第13节 任意角、弧度制及任意角的三角函数（解析版）

第13节任意角、弧度制及任意角的三角函数基础知识要夯实1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝180rad；1rad＝180°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈)2,0(，则tanααsinα.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合核心素养要做实考点一角的概念及其集合表示【例1】(1)已知与120角的终边关于x轴对称，则2是（）A．第二或第四象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】A【解析】由与120角的终边关于x轴对称，可得360120,kkZ，∴=18060,2kkZ，[来源:学科网ZXXK]取0,1k可确定2终边在第二或第四象限．（2）集合9045,MxxkkZ，4590,NxxkkZ，则有（）A．MNB．MNC．MNÜD．MN【答案】C【解析】24545,MxxkkZ，(1)4545,NxxkkZ．∵2k是偶数，1k为整数，∴MNÜ，故选C．【方法技巧】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【跟踪训练】(1)将885化为360k0360,kZ的形式是（）A．165(2)360B．195(3)360C．195(2)360D．195(3)360【答案】B【解析】885195(1080)195(3)360[来源:学*科*网Z*X*X*K](2)若角的终边在函数yx的图象上，试写出角的集合为．【答案】{|180135,}kkZ【解析】解法一：函数yx的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0～360范围内找出满足条件的角，再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简．解法二：结合图形，与135相差180的整数倍，由此写出集合．考点二弧度制及其应用【例2】（1）(经典母题)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（单位：弧度）（）A．1B．4C．πD．1或4【答案】D【解析】设扇形的半径为x，所以弧长为62x，扇形的圆心角为62xx，因为扇形的面积为2，所以1(62)22xx，解得1x或2x，所以扇形的圆心角为1或4．（2）在半径为10cm的圆中，4π3的圆心角所对弧长为（）A．40π3cmB．20π3cmC．200π3cmD．400π3cm【答案】A【解析】根据弧长公式，得4π40π1033l（cm）．（3）圆的半径是6cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A．π2cm2B．3π2cm2C．πcm2D．3πcm2【答案】B【解析】根据扇形面积公式，得21π3π62122S（cm2）．【方法技巧】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【跟踪训练】1.一圆内切于中心角为π3、半径为R的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为（）A．3:4B．2:3C．1:2D．1:3【答案】B【解析】一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图：由圆半径π()sin6rRr，得13rR，∴2211ππ():2:3323RR．考点三三角函数的概念【例3】(1)(2022·合肥质检)已知角的终边与单位圆交于点31(,)22，则sin的值为（）A．32B．12C．32D．12【答案】B【解析】112sin12．(2)若三角形的两内角,满足sincos0，则此三角形必为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能【答案】B【解析】∵sincos0，,(0,π)，∴sin0，cos0，∴为钝角．规律方法1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】(1)(2022·西安一中月考)已知角的终边在直线340xy上，求2sincos的值．【解析】在直线340xy上任取一点(4,3)(0)Paaa，则22(4)(3)5rOPaaa．（1）当0a＞时，5ra，故33sin55aa，44cos55aa，所以3422sincos2()555；（2）当0a＜时，5ra，故33sin55aa，44cos55aa，所以3422sincos2()555．故2sincos等于25或25．(2)19πsin()6的值等于（）A．12B．12C．32D．32【答案】A【解析】19π24π5π5π5π1sin()sin()sin(4π)sin66662．故选A．达标检测要扎实一、单选题1．下列转化结果正确的是（）A．60化成弧度是rad6B．rad12化成角度是30C．1化成弧度是180radD．1rad化成角度是180o【答案】D【解析】由180得，对于A选项：60化成弧度是rad3，故A不正确；对于B选项：rad12化成角度是11801512，故B不正确；对于C选项：1化成弧度是180rad，故C错误；对于D选项：1rad化成角度是180o，故D正确，故选：D.2．已知是第四象限角，(3,)Py是角终边上的一个点，若3cos5，则y（）A．4B．-4C．4D．不确定【答案】B【解析】依题意是第四象限角，所以0y，2233cos5430yyy.故选：B3．若角的终边在y轴的负半轴上，则角150的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上【答案】B【解析】Q终边在y轴负半轴上270360kkZ150120360kkZ150终边位于第二象限本题正确选项：B4．已知tan2，则2222sincos12sincos等于（）A．89B．119C．67D．47【答案】A【解析】tan2，22sincos1，22222222222sincos12sinα2tanα2282sincos2sinαcosα2tanα12219.故选：A.5．如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（）A．23B．2336C．1118D．712【答案】B【解析】表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为2126；当时针指向10，分针指向2时，时针与分针夹角为2463；但当分针指向2时，时针由10向11移动了16636；该时刻的时针与分针所夹钝角为22333636.故选：B.6．下列说法正确的是（）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．若tan0，则2kkkZC．若角的终边过点3,40Pkkk，则4sin5=D．当224kkkZ时，sincos【答案】D【解析】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为3弧度，A错误；对于B，若tan0，则2kkkZ，B错误；对于C，若角的终边过点3,40Pkkk，则4sin5，C错误；对于D，当224kkkZ时，sincos，D正确.故选D.7．已知是第四象限角，化简1sin1sin1sin1sin为（）A．2tanB．2tanC．tanD．tan【答案】B【解析】∵为第四象限角，∴22221sin1sin(1sin)(1sin)1sin1sin2sin2tan1sin1sin11coscoscossinsin.故选：B8．在平面直角坐标系xOy中，角以x轴的非负半轴为始边，且点1,2P在角的终边上，则cos（）A．33B．33C．63D．63【答案】A【解析】因为(12)P，，所以=3OP由角的余弦值的定义可得13cos33，故选：A.9．若角α的终边经过点1,3P，则tana的值为（）A．13B．3C．1010D．31010【答案】B【解析】∵角的终边经过点1,3P，∴tan3.故选：B.10．已知A为三角形的内角，且7sincos13AA，则tanA（）A．125B．512C．512D．125【答案】A【解析】2277sincossincos1313AAAA计算得1202sincos0169AA，所以sin0A，cos0A，从而可计算的228917sincos12sincossincos16913AAAAAA，12sin13A，5cos13Asin12tancos5AAA,选项A正确，选项BCD错误.故选：A.11．若α为第四象限角，则（）A．cos2α0B．cos2α0C．sin2α0D．sin2α0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2kkkZ，所以34244,kkkZ此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20故选：D.方法二：当6时，cos2cos03，选项B错误；当3时，2cos2cos03，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0，选项C错误，选项D正确；故选：D.12．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点1,3P在角的终边上，则sincos2sin3cos（）A．34B．34C．49D．49【答案】D【解析】由题意得3