第14节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（原卷版）

第14节同角三角函数的基本关系与诱导公式基础知识要夯实1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sincos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一[来源:Z*xx*k.Com]二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.核心素养要做实考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2022·兰州测试)若cos2sin5，则tan（）A．12B．2C．12D．－2(2)(2022·平顶山联考)如果tan2，那么1sincos的值为（）A．53B．54C．75D．73【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sincos＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【跟踪训练】1.若tan3，则22sincoscos（）A．2B．3C．4D．62.已知是第二象限的角，1tan2，则cos（）A．255B．52C．54D．45考点二诱导公式的应用【例2】(1)(2022·衡水中学调研)已知5sin13，则πcos()2的值为（）A．513B．1213C．513D．1213(2)若sincos2sincos，则3sin(5π)sin(π)2的值为（）A．34B．310C．310D．310规律方法1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【训练2】(1)(2020·北京卷)在已知π1sin()43，则πcos()4的值为（）A．223B．223C．13D．13（2）化简222cos(4π)cos(π)sin(3π)sin(4π)sin(5π)cos(π)．考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用【例3】(1)(2020·菏泽联考)已知3cos(π)5，且是第四象限角，则sin(2π)．(2)(2020·福州调研)若8πtan()7a，求15π13πsin()3cos()7720π22πsin()cos()77的值．【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如π3－α与π6＋α互余等.【跟踪训练】1.(2022湖北七州市联考)已知sin是方程25760xx的根，求233ππsin(π)sin(π)tan()tan(π)[cos()cos()]2222的值．2.化简πcos()sin(5π)cos(8π)2cos(3π)sin(3π)sin(4π)．达标检测要扎实一、单选题1．已知是第二象限角，且31cos24，则cos（）A．154B．14C．14D．1542．若4sincos3，且3π,π4，则sin(π)cos(π)A．23B．23C．43D．433．已知角A、B、C为ABC的三个内角，若sinsin22ABCABC，则ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形4．已知sin(π)2cos(3π)0，则sincossincos（）.A．3B．3C．13D．135．已知锐角终边上一点A的坐标为2sin3,2cos3，则角的弧度数为（）A．32B．32C．3D．3326．已知3sin5，则sincosππsin2（）A．45B．45C．35-D．357．已知cos167m，则tan193（）A．21mB．21mmC．21mmD．21mm8．已知tan3，则3sinsinsin2（）A．34B．34C．310D．3109．已知π1sin33，则πcos6（）A．79B．13C．13D．7910．化简cos201cos40cos50的值为A．12B．22C．2D．211．若1sin53，则3cos10（）A．223B．223C．13D．1312．下列三角比的值中()kZ，与sin3的值相同的个数是（）①4sin3k；②cos26k；③sin23k；④cos(21)6n；⑤sin(21)3nA．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．已知角的终边经过点2,Pa，若1cos23，则a___________.14．若sin3sin2xx，则coscos2xx______．15．已知3sin5fxxx，若sin9fx，则sinfx___________.16．在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3,则sin_____.【答案】13【解析】因为角与角的终边关于y轴对称，所以π2π,kkZ，所以1sinsinπ2πsin3k.三、解答题17．已知2sin()cos()3，且2，求：（1）sincos；（2）33sincos.18．已知sincossin2cossinf.（1）化简f；（2）若角A是ABC的内角，且35fA，求tansinAA的值.19．已知角的终边经过点122(,)33P（1）求sin,cos,tan的值；（2）求5sin(3)2cos()22cos()cos()的值20．已知,0，且sin，cos为方程250xxm的两根．（1）求m的值；（2）求23sincos2sin25sin3sinsincos222的值．21．在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P，点P的横坐标为35-.(1)求cos3sin3sincos的值；(2)若将射线OP绕点O逆时针旋转2，得到角，求22sinsincoscos的值.22．若角的终边上有一点,8Pm，且3cos5.（1）求m的值；（2）求sincos2tancos的值.