第16节 三角恒等变换（解析版）

第16节三角恒等变换基础知识要夯实1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tantan1tantan.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝22tan1tan.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝22absin(α＋φ)tanab其中或f(α)＝22ab·cos(α－φ)tanab其中.4.常用结论（1）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).（2）cos2α＝1cos22，sin2α＝1cos22.（3）1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sin4.基本技能要落实【探究材料一】我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换．我们已经学习了二倍角的余弦公式：，对于这个公式，我们还可以进行更多的恒等变形．据此，请回答下列问题．22cos212sin2cos1【探究问题】1．角2和是什么关系？2．由2cos212sin，可用cos2来表示sin吗？3．可用cos2来表示cos吗？4．由问题2和3，tan等于什么？5．把上述问题中的角换成2，上述公式还成立吗？【探究提示】1．2是的二倍角，是2的半角；2．1cos2sin2；3．1cos2cos2；4．1cos2tan1cos2；5．成立．【探究材料二】前面，我们学习了两角和与差的正弦公式：sin(=sincoscossinS(+)），()；①sin(=sincoscossinS(-)），()；②cos(=coscossinsinC(+)），()；③cos(=coscossinsinC(-)），()．④观察上面两个公式的特点，回答下列问题．【探究问题】1．公式①②可以看成关于sincos和cossin的方程组吗？2．问题1中方程组的解是什么？3．类似的，你可以表示coscos和sinsin吗？4．以上方程组的解叫什么公式？5．既然我们能表示sinsin，那么我们能否可以表示sinsin？【探究提示】1．可以；2．；；3．；．4．积化和差公式；5．可以，即和差化积公式．核心素养要做实考点一三角函数式的化简【例1】(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)等于（）A．12B．12C．32D．32【答案】A【解析】原式1cos[(35)(25)]cos(60)cos602．（2）cos70cos335sin110sin25的结果是（）A．1B．22C．32D．12【答案】B【解析】原式cos70cos(36025)sin(18070)sin25cos70cos25sin70sin252cos(7025)cos452．规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】（1）cos75cos15sin75sin195的值为（）A．0B．12C．32D．12【答案】B【解析】原式cos75cos15sin75sin(18015)1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]2cos75cos15sin75sin151cos(7515)cos602．（2）sin14cos16sin76cos74的值是（）A．32B．12C．32D．12【答案】B【解析】sin14cos16sin76cos74cos76cos16sin76sin161cos(7616)cos602考点二三角函数式的求值多维探究【例2】(1)的值是（）A．12B．32C．3D．2【答案】C【解析】2cos10sin202cos(3020)sin20sin70cos202(cos30cos20sin30sin20)sin20cos203cos20sin20sin203cos203cos20cos20．（2）计算sin137cos13cos103cos43的值等于（）A．12B．33C．22D．32【答案】A【解析】sin137cos13cos103cos43cos103cos43sin(18043)sin(9013)cos103cos43sin43sin1031cos(10343)cos602．规律方法1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，2cos10sin20sin70选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.【训练2】(1)(2020·合肥模拟)已知3sinsin5，4coscos5，求cos()的值．【解析】3sinsin5，①4coscos5．②①式平方得229sin2sinsinsin25，②式平方得2216cos2coscoscos25．以上两式相加，有22(coscossinsin)1，即22cos()1，得1cos()2．（2）已知4cos()5，4cos()5，且π(,π)2，3π(,2π)2，求cos2的值．【解析】由题意易得3sin()5，3sin()5，∴cos2cos[()()]cos()cos()sin()sin()4433()()15555．考点三三角恒等变换的简单应用【例3】(2020·郑州模拟)．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且1AB，过点P作圆的切线PC，使1PC．连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于12？【解析】设PAB，连接PB．∵AB是直径，∴90APB．又1AB，∴cosPA，sinPB．∵PC是切线，∴BPC．又1PC,∴APBBPCABCPSSS△△四边形11sin22PAPBPBPC211cossinsin2211sin21cos24411sin2cos2442π1sin2444．由已知，2π11sin24442，π2sin242．又π0,2，ππ3π2,444，ππ244，π4．故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于12．规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】(2020·北京卷)求函数2sinsincosyxxx的单调区间．【解析】2sinsincosyxxx22sin2sincosxxx1cos2sin2xxπ2sin214x．当πππ2π22π242kxk剟，即π3πππ,88kxkkZ剟，函数单调递增．当ππ3π2π22π242kxk剟，即3π7ππ,88kxkxkZ剟，函数单调递减．因此原函数的单调递增区间是π3π,ππ88kkkZ，单调递减区间为3π7ππ,π88kkkZ．达标检测要扎实一、单选题1．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知3coscos()35，则cos23（）A．725B．725C．5725D．5725【答案】B【解析】由3coscos()35可得133cossincos225，即313sincos225，即3cos()35，所以2297cos(2)2cos()121332525，227cos2cos[(2)]cos(2)33325，故选：B.2．（2020·绥德中学高一期末（文））若4cos25，(,)2，则tan()4（）A．-2B．12C．2D．12【答案】B【解析】4cos25，可得224cossin522cossin1，2219cos,sin1010,2，31010sin,cos1010sintan3cos，1tan131tan41tan132，故选B项.3．（2020·绥德中学高一期末（文））sin45cos15cos225sin15的值为()A．32B．12C．12D．32【答案】C【解析】sin45cos15cos225sin15sin45cos15cos45sin15sin45151sin302.故选C.4．（2020·全国高二）已知，都是锐角，3sin5，5cos13，则sin（）A．5665B．1665C．3365D．6365【答案】D【解析】，都是锐角，3sin5，5cos13，故4cos5，12sin13.63sinsinsincoscossin65.故选：D.5．（2020·全国高二）若,0,，12cos213，4sin25，则sin2（）A．3365B．3365C．6365D．6365【答案】C【解析】由题意,0,，故,0,,222故(,),(,)2222又cos02，sin02故(,),(0,)2