第16节 三角恒等变换（原卷版）

第16节三角恒等变换基础知识要夯实1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tantan1tantan.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝22tan1tan.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝22absin(α＋φ)tanab其中或f(α)＝22ab·cos(α－φ)tanab其中.4.常用结论（1）tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).（2）cos2α＝1cos22，sin2α＝1cos22.（3）1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sin4.基本技能要落实【探究材料一】我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换．我们已经学习了二倍角的余弦公式：，对于这个公式，我们还可以进行更多的恒等变形．据此，请回答下列问题．22cos212sin2cos1【探究问题】1．角2和是什么关系？2．由2cos212sin，可用cos2来表示sin吗？3．可用cos2来表示cos吗？4．由问题2和3，tan等于什么？5．把上述问题中的角换成2，上述公式还成立吗？【探究提示】1．2是的二倍角，是2的半角；2．1cos2sin2；3．1cos2cos2；4．1cos2tan1cos2；5．成立．【探究材料二】前面，我们学习了两角和与差的正弦公式：sin(=sincoscossinS(+)），()；①sin(=sincoscossinS(-)），()；②cos(=coscossinsinC(+)），()；③cos(=coscossinsinC(-)），()．④观察上面两个公式的特点，回答下列问题．【探究问题】1．公式①②可以看成关于sincos和cossin的方程组吗？2．问题1中方程组的解是什么？3．类似的，你可以表示coscos和sinsin吗？4．以上方程组的解叫什么公式？5．既然我们能表示sinsin，那么我们能否可以表示sinsin？【探究提示】1．可以；2．；；3．；．4．积化和差公式；5．可以，即和差化积公式．核心素养要做实考点一三角函数式的化简【例1】(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)等于（）A．12B．12C．32D．32（2）cos70cos335sin110sin25的结果是（）A．1B．22C．32D．12规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】（1）cos75cos15sin75sin195的值为（）A．0B．12C．32D．12（2）sin14cos16sin76cos74的值是（）A．32B．12C．32D．12考点二三角函数式的求值多维探究【例2】(1)的值是（）A．12B．32C．3D．2（2）计算sin137cos13cos103cos43的值等于（）A．12B．33C．22D．321sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]22cos10sin20sin70规律方法1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.【训练2】(1)(2020·合肥模拟)已知3sinsin5，4coscos5，求cos()的值．（2）已知4cos()5，4cos()5，且π(,π)2，3π(,2π)2，求cos2的值．考点三三角恒等变换的简单应用【例3】(2020·郑州模拟)．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且1AB，过点P作圆的切线PC，使1PC．连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于12？规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】(2020·北京卷)求函数2sinsincosyxxx的单调区间．达标检测要扎实一、单选题1．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知3coscos()35，则cos23（）A．725B．725C．5725D．57252．（2020·绥德中学高一期末（文））若4cos25，(,)2，则tan()4（）A．-2B．12C．2D．123．（2020·绥德中学高一期末（文））sin45cos15cos225sin15的值为()A．32B．12C．12D．324．（2020·全国高二）已知，都是锐角，3sin5，5cos13，则sin（）A．5665B．1665C．3365D．63655．（2020·全国高二）若,0,，12cos213，4sin25，则sin2（）A．3365B．3365C．6365D．63656．（2020·安徽省舒城中学高二月考（文））若,均为锐角，25sin5，3sin5，则cosA．255B．2525C．255或2525D．25257．（2020·安徽省舒城中学高二月考（文））函数2sinsincosyxxx的最大值为（）A．12B．21C．2D．28．（2020·全国高三（理））化简2cos24sintan44（）A．cosB．sinC．1D．129．（2020·全国高二）已知α终边与单位圆的交点3,-5Px，且sincos0，则1sin222cos2的值等于（）A．95B．75C．65D．310．（2020·全国高二）若1sin63，则5sin26（）A．79B．13C．89D．2311．（2020·全国高二）已知πcos2cosπ2，则πtan4（）A．3B．13C．13D．312．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）已知3cos()sin()65，则cos()3的值（）A．35B．15C．15D．35二、填空题13．（2020·全国高二）已知2ππ5sin3sin5102，则2πcos215_________．14．（2020·山西省高一月考）223cos15cos75sin15cos152________.15．（2020·山东省高三二模）已知π3sin63，则2πcos23=________.16．（2020·北京高三二模）已知1cos23，则22cos2cos2的值为_____.三、解答题17．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））设ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且33sinsinsin22abAbaBcC.（1）求角C的大小；（2）若2B，点D为AB的中点，求tanACD.18．（2020·上海高三二模）设函数22sin5sin1263fxxx.（1）当01时，若函数fx的最大值为2f，求函数fx的最小正周期;（2）若函数fx在区间,2内不存在零点，求正实数的取值范围.19．（2020·上海高三二模）设常数aR，函数2()3sin2cosfxxax．（1）若()fx为奇函数，求a的值；（2）若36f，求方程()2fx在区间[0,]上的解．20．（2020·浙江省高三其他）已知函数74cossinπ16fxxx在区间π,6a的值域为2,1.（1）求实数a的取值范围；（2）若013fx，0π0,2x，求0cos2x的值.21．（2020·浙江省高三三模）已知函数()(3sincos)cosfxxxxm的最大值为2.（1）求12f的值；（2）当0,2x时，求[()1]112yfxfx的最值以及取得最值时x的值.22．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）已知函数2()sin3sinsin2fxxxx.（1）求()fx的最小正周期；（2）求函数()fx的单调增区间；（3）求函数()fx在区间20,3上的取值范围.