第18节 等差数列及前n项和（解析版）

第18节等差数列及前n项和基础知识要夯实1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝2ab，那么A叫作a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝1()2nnaa或Sn＝na1＋(1)2nnd.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝2dn2＋12dan.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值．难点正本疑点清源1．等差数列的判断方法(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝2nd.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．3．等差数列与函数在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.典型例题剖析考点一等差数列基本量的运算[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12【答案】B【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由45624,48,aaS得1113424,65648,2adadad即112724,2516,adad解得d＝4.3．(2022·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝()A．420B．340C．－420D．－340【答案】D【解析】设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋20192×(－2)＝－340.4．(2022·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4＜S3B．S4＝S3C．S4＞S1D．S4＝S1【答案】B【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得116,56,adad解得19,3ad于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋322×3＝－18，S4＝4×(－9)＋432×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，故选B.【方法技巧】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．[提醒]在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明【例1】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1nS成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，因为Sn≠0，所以1nS－11nS＝2，又11S＝11a＝2，故1nS是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1nS＝2n，所以Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12(1)n＝112(1)2(1)nnnnnn当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝1,1,21,22(1)nnnn【跟踪训练】1．(变设问)本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．【解析】因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)．所以1nS－11nS＝2(n≥2)．又11S＝11a＝2，所以1nS是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1nS＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝12n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12(1)n＝112(1)2(1)nnnnnn，所以an＋1＝12(1)nn.又an＋1－an＝12(1)nn－12(1)nn＝111211nnn＝1(1)(1)nnn，所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12”变为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．【解析】(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0，所以Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0，因为Sn≠0，所以Sn－Sn－1＝12.又11S＝11a＝12，故数列1nS是以首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知1nS＝2n，所以Sn＝2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2(1)nn.当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝2,1,2,2.(1)nnnn[解题技法]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列【提醒】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝23nnna，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．【证明】因为bn＋1－bn＝1112233nnnnnnaa＝11113322332133nnnnnnnnaa，所以{bn}为等差数列，又b1＝123a＝0，所以bn＝n－1，所以an＝(n－1)·3n＋2n.2．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝11na.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：因为11111111(1)(1)3nnnnnnaaaaaa，所以bn＋1－bn＝13，所以数列{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝11na＝121＝1，知bn＝13n＋23，所以an－1＝32n，所以an＝52nn.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关]【例2】(1)(2022·咸阳二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝()A．58B．54C．56D．52(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100B．120C．390D．540(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，20142008620142008SS，则S2019＝________.【答案】(1)D(2)A(3)8076【解析】(1)∵a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，∴S13＝11313()2aa＝1382＝52.(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.(3)由等差数列的性质可得nSn也为等差数列．设其公差为d，则2014200820142008SS＝6d＝6，∴d＝1.故2019120191SS＋2018d＝－2014＋2018＝4，∴S2019＝4×2019＝8076.[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；nSn也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【跟踪训练】1．(2022·聊城模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝104，a6＝5，则数列{an}的公差为()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】设等差数列{an}的公差为d.因为S13＝104，所以11313()2aa＝104，所以13a7＝104，解得a7＝8.因为a6＝5，所以d＝a7－a6＝8－5＝3.2．(2022·宁德二检)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝()A．33B．16C．13D．12【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a5＝14，所以a2＋a6＝14，又a2a6＝33，所以263,11aa或2611,3aa当263,11aa时，d＝11362＝2，所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13；当2611,3aa时，d＝31162＝－2，所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13.综上，a1a7＝13，故选C.3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若231nnSnTn，则1111ab＝________.【答案】2132【解析】由等差数列前n项和的性质，得1111ab＝111122121=321132ST.考点四等差数列前n项和的最值问题[师生共研过关]【例3】在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6