第20节 平面向量（原卷版）

第20节平面向量基础知识要夯实1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.5.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.6.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝aa＝2211xy(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，||AB＝222121()()xxyy.7.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.8.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.9.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝aa＝2211xy.(3)夹角：cosθ＝121222221122||||xxyyababxyxy.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤2211xy2222xy.10.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即12AA＋23AA＋34AA＋…＋1nnAA＝1nAA，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.11.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则1()2OPOAOB.12.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.13.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.14.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.15.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线.16.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.基本技能要落实考点一平面向量的概念【例1】（1）设a、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0abab成立的是（）A．2abB．//abC．13abD．ab【答案】C【解析】由于0abab，所以方向与a相同的单位向量和方向与b相同的单位向量是相反向量，故选项C正确.（2）下列命题正确的是（）A．若||0a，则0aB．若||||ab，则abC．若||||ab，则//abrrD．若//abrr，则ab【答案】A【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；||||ab时，只说明向,ab的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；ab时，只说明,ab方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选：A.【方法技巧】对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A．ADBCB．ACBDC．PEPFD．EPPF【答案】D【解析】根据相等向量的定义，分析可得AD与BC不平行，AC与BD不平行，所以ADBC,ACBDuuuruuur均错误.PE与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以EPPFuuruuur.故选：D2.下列说法正确的是()A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反B．若向量AB、CD满足|AB||CD|，且AB与CD同向，则ABCDC．若a≠b，则a与b可能是共线向量D．若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线【答案】C【解析】由题意，由ab，但a与b方向可以任意，所以A不正确；由向量不能比较大小，判定B不正确；根据向量的定义，可判定C正确；由AB与CD平行，则直线AB与CD可能平行，可能重合，则A，B，C，D四点不一定共线，所以D不正确.故选C．考点二平面向量的线性运算角度1向量的线性运算【例2－1】（2020·绥德中学高三其他（文））在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABC，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC，之后将其合并，得到3144BEBAAC，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC1113124444BABAACBAAC，所以3144EBABAC，故选A.角度2利用向量线性运算求参数【例2－2】（1）（2022·江西省高三三模（文））在ABC中，D为线段AB上一点，且3BDAD，若CDCACB，则()A．13B．3C．14D．4【答案】B【解析】3BDAD3331()4444CDCBBDCBBACBCACBCACB，又CDCACBQ，31,44，3，故选：B（2）（2022·四川省泸县五中高三月考）在ABC中，点D在BC边上，且3CDDB，点M在AD边上，3ADAM，若CMABAC，则（）A．23B．23C．76D．76【答案】A【解析】如图所示:在△ABC中,由3CDDB,3ADAM,可得1111111111λμ3334344412CMCAAMADACABBDACABBCACABACABACABACABAC,所以1112λμ4123.故选:A.【方法技巧】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【跟踪训练】1.（2022·广东省高三模拟（理））如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，AF2FE，则BF（）A．1123ABADB．11 32ABADC．11 23ABADD．11 32ABAD【答案】C【解析】由梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，AF2FE，则221(332)BFBAAFABAEABABAC1(3)ABABADDC11(32)ABABADAB1123ABAD；故选：C2.（2022·辽宁省抚顺一中高三二模（文））在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，13CEABAC，则（）A．13B．13C．76D．76【答案】B【解析】1111133333CECBCAACCBCACDCA，因为E是AD的中点，所以1132，1132，解得15,26，13.故选B.考点三共线向量定理及其应用【例3】（1）（2022·上海高三模拟）已知向量ab，不共线，2,56,72ABabBCabCDab，则,,,ABCD中一定共线的三点是（）．A．,,ABCB．,,ABDC．,,BCDD．,,ACD【答案】B【解析】由2,56,72ABabBCabCDab，则有48ACABBCab，24BDBCCDab由2,56ABabBCab，不存在实数，使得ABBC所以AB与BC不共线，则,,ABC不共线,所以A不正确由2ABab，242BDabAB，可得AB与BD共线，又有公共点B，则,,ABD共线，所以B不正确由56,BCab72CDab，不存在实数，使得BCCD所以BC与CD不共线，则,,BCD不共线，所以C不正确由48ACab，72CDab，不存在实数，使得ACCD所以AC与CD不共线，则,,ACD不共线，所以D不正确，故选：B（2）已知12,ee是两个不共线向量，且1263aee，12bkee.若向量a与b共线，则实数k的值为（）A．2B．1C．13D．43【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,若向量a与b共线则满足λab=即211263keeeeururuuruur所以满足63k,解得32k故选:A【方法技巧】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.【跟踪训练】1.（2022·怀仁市第一中学校云东校区高三模拟（理））已知,ab是不共线的向量，2,2,,ABabACabR，若,,ABC三点共线，则,满足（）A．2B．1C．4