第23节 空间几何体的表面积与体积（解析版）

第23节空间几何体的表面积与体积基础知识要夯实名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋SS下上)h球S＝4πR2V＝43πR3基本技能要落实考点一空间几何体的体积【例1】(2020·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.【答案】112【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝12AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝12AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为12，所以四棱锥M－EFGH的体积为13×212×12＝112.【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.23【答案】A【解析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，取AD的中点O，连接GO，易得GO＝22，∴S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.【方法技巧】1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.【跟踪训练】1.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝32AB＝3，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，∴VA－B1DC1＝13S△B1DC1·AD＝13×12×2×3×3＝1.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π－163B.4π－163C.8π－4D.4π＋83【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163.考点二多面体与球的切、接问题【例2】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.92C.6πD.263【答案】B【解析】由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝92【方法技巧】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【跟踪训练】1.三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()A.23πB.234πC.64πD.643π【答案】D【解析】如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点.由平面PAC⊥平面ABC.则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝23PH＝23×32×2＝233，OO′＝DH＝12AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝643π.达标检测要扎实一、单选题1．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（）A．38092mB．34046mC．324276mD．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥PABCD中，34ABBC，21PO，所以正四棱锥PABCD的体积为311343421809233ABCDSPOm，故选：A2．已知一个圆锥的体积为3，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）A．23B．3C．3D．33【答案】C【解析】设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：则圆锥的体积2133Vrh，所以29rh，即29hr，21222Srlr侧，则2lr，又223hlrr，所以339r，故3r．故选：C．3．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．3πB．33C．3π3D．3【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由π2πlr，得2lr，又22ππ23π3πSrrrr，所以21r，解得1r；所以圆锥的高为2222213hlr，所以圆锥的体积为22113ππ13π333Vrh．故选：C．4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6623)B．6(8823)C．8(6632)D．6(8832)【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为2116(222)42282322S8(6623).故选：A.5．已知ABC中，90ACB，2CBAC，其顶点都在表面积为36的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为2，则ABC的面积为（）A．2B．4C．8D．10【答案】B【解析】设球O的半径为R，ABC外接圆的半径为r，则2436R，所以3R，又因球心O到平面ABC的距离为2，则222Rr，解得5r，因为90ACB，则ABC是以AB边为斜边的直角三角形，则ABC外接圆的圆心是AB的中点，则225ABr，又2CBAC，所以2222520CBACACAB，所以2,4ACCB，所以142ABCSCBAC.故选：B.6．在正方体1111ABCDABCD中，三棱锥11ABCD的表面积为43，则正方体外接球的体积为（）A．43B．6C．323D．86【答案】B【解析】设正方体的棱长为a，则1111112BDACABADBCDCa，由于三棱锥11ABCD的表面积为43，所以12133442242ABCSSa所以2a所以正方体的外接球的半径为222222622，所以正方体的外接球的体积为346632故选：B．7．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，4ABBCCDDA，22ACBD，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法不正确的是（）．A．过点E，F，G做四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2B．四面体ABCD的体积为1633C．AC与BD的公垂线段的长为23D．过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4【答案】B【解析】图1图2选项A中，如图（1）所示，找AB的中点H，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面EFHG，则////EGACFH,EGBDGH，所以四边形EFHG为平行四边形，找AC的中点O,连接,ODOB，因为4ABBCCDDA，所以,,,,DOACBOACDOBOODOBO平面BOD，所以AC平面BOD，BD平面BOD，所以ACBD，所以EGEF，所以四边形EFHG为矩形，122EFBD，122EGAC，所以截面的面积222S，故A正确；选项B中，RtCOD中，由勾股定理得：2216214ODCDOC，同理14OBOD，过点O作OMBD,则122DMDB，所以由勾股定理得：2214223OMODDM，所以1122232622OBDSBDOM，由选项A可得：CO平面BOD,所以14326233CBODABODVV，833DABCCBODABODVVV，故B错误；选项C中，AC与BD的公垂线段即为OM，长度为23，故C正确；选项D中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，2,23APPCPB，所以外接球的半径441252R，截面面积的最大值为5；平面PCQB截得的面积为最小面积，半径22412222PBPCR，截面积最小为4，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故D正确故选：B8．已知正三棱锥ABCF和正四棱锥ABCDE的所有棱长均为2，如图将三棱锥ABCF的一个面和正四棱锥ABCDE的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（）A．//AFCDB．AFDEC．新几何体为三棱柱D．正四棱锥ABCDE的内切球半径为22【答案】D【解析】取BC的中点M，DE的中点N，连AM、FM、MN、AN，如图：因为正三棱锥ABCF和正四棱锥ABCDE的所有棱长都为2，所以BCFM，BCAM，ANDE，又FMAMM，所以BC平面AMF，因为//BCDE，所以BCAN，因为AMANA，所以BC平面AMN，所以平面AMF与平面AMN重合，因为2AFMN，3FMAN，所以四边形AFMN为平行四边形，所以//AFMN，又//MNCD，所以//AFCD，故A正确；因为CDDE，所以AFDE，故B正确；因为//AFCD，AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形，同理得四边形AFBE也为平行四边形，所以CF//AD，因为CF平面ADE，AD平面ADE，所以//CF平面ADE，同理得//BF平面ADE，因为CFBFF，所以平面//BCF平面ADE，又////AFCDBE，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故C正确；设正四棱锥ABCDE的内切球半径为R，因为正四棱锥