第24节 直线、平面平行的判定与性质（解析版）

第24节直线、平面平行的判定与性质基础知识要夯实1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b核心素养要做实考点一直线与平面平行的判定与性质【例1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.【解析】(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝12CB，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴DE∥CB，DE＝12CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝2.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则PC＝3，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，∴S△PDC＝12×1×2＝22.连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，则13×h×22＝13×1×12×12×1，∴h＝24，∴点F到平面PDC的距离为24.【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【解析】(1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝13S△A1B1B·DA＝13×12×2×2×2＝43.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【跟踪训练】1.(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【解析】(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.考点二面面平行的判定与性质【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【解析】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【跟踪训练】1.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积.【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝12AB，即点E是AB的中点.因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF－DEC＝12VP－DEC＝16S△DEC×PE＝16×12×2×2×2＝23.∴CE＝1.达标检测要扎实一、单选题1．设a是直线，是平面，则能推出//a的条件是（）A．存在一条直线b，//ab，bB．存在一条直线b，abrr，bC．存在一个平面，a，//D．存在一个平面，a，【答案】C【解析】对于A，若a，可满足//ab，b，但无法得到//a，A错误；对于B，若a，可满足abrr，b，但无法得到//a，B错误；对于C，由面面平行的性质知：若//，a，则//a，C正确；对于D，若a，可满足a，，但无法得到//a，D错误.故选：C.2．如图，正方体1111ABCDABCD中，E为AB中点，F在线段1DD上.给出下列判断：①存在点F使得1AC平面1BEF；②在平面1111DCBA内总存在与平面1BEF平行的直线；③平面1BEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥1BBEF的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D【解析】对于①，假设存在F使得1AC⊥平面1BEF，则1AC⊥1BE，又BC⊥1BE，BC∩1AC＝C，∴1BE⊥平面1ABC，则1BE⊥1AB，这与1AB⊥1AB矛盾，所以①错误；对于②，因为平面1BEF与平面1111DCBA相交，设交线为l，则在平面1111DCBA内与l平行的直线平行于平面1BEF，故②正确；对于③，以D点为坐标原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴，建立空间坐标系，则平面ABCD的法向量为(0,0,1)m而平面1BEF的法向量n，随着F位置变化，故平面1BEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1BBEF的体积即为三棱锥1FBBE，因为1DD∥平面11ABBA，所以，当F在线段1DD上移动时，F到平面11ABBA的距离不变，故三棱锥1BBEF的体积与点F的位置无关，即④正确．故选：D．3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形【答案】B【解析】因为平面ABFE//平面CGHD,且平面EFGH平面ABFEEF,平面EFGH平面CGHDGH,根据面面平行的性质可知EF//GH,同理可证明EH//FG.所以四边形EFGH为平行四边形.故选：B.4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由正方体的性质得BD∥11BD，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面11CBD；所以①正确.由正方体的性质得AC⊥BD，1CC⊥BD，可得BD⊥平面1CCA，所以1AC⊥BD，所以②正确.由正方体的性质得BD∥11BD，由②可得1AC⊥BD，所以1AC⊥11BD，同理可得11ACCB^，进而结合线面垂直的判定定理得到：1AC⊥平面11CBD，所以③正确.故选：D.5．平面∥平面，,ab，则直线a和b的位置关系（）A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行或相交或异面【答案】B【解析】∵平面//平面，∴平面与平面没有公共点∵a，b，∴直线a，b没有公共点∴直线a，b的位置关系是平行或异面，故选：B.6．如图，在正三棱台111ABCABC中，2AB，114AB，125AA.M，N分别是1AB，1BC的中点，则（）A．直线//MN平面ABC，直线1AB与1BC垂直B．直线//MN平面ABC，直线1AB与1BC所成角的大小是π3C．直线MN与平面ABC相交，直线1AB与1BC垂直D．直线MN与平面ABC相交，直线1AB与1BC所成角的大小是π3【答案】B【解析】取1BB中点D，连接DM，DN，由题意可知，//DMAB，DN//BC，所以平面//MND平面ABC，所以直线//MN平面ABC，取AB中点F，11BC中点E，AC中点G，连接DE，EF，FG，1GC，1BF，易知1//DFAB，1//DEBC，所以直线DE与直线DF所成角即为直线1AB与1BC所成角，在等腰梯形11ABBA中，2AB，114AB，125AA，可得127AB，123BF，F，D分别为AB，1BB中点，所以1172DFAB，同理：7DE，在等腰梯形11FGCB中，1FG，114BC，123BF，可得21EF，在DEF中，7DEDF，21EF，由余弦定理可得：22277211cos2272DEDFEFEDFDEDF，所以23EDF，即直线DE与直线DF所成角的大小是π3，因此直线1AB与1BC所成角的大小是π3，故选：B.7．给出以下四个命题，能判断平面α和平面β平行的条件是A．α内有无数条直线都与β平行B．α内的任一条直线都与β平行C．直线a，直线b，且//a，//bD．直线a，且//a【答案】B【解析】A.平面内有无数条直线与平面平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A不满足条件；B.平面内的任何一条直线都与平