第25节 直线、平面垂直的判定与性质（原卷版）

第25节直线、平面垂直的判定与性质基础知识要夯实1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A．ADBCB．ACBDC．PEPFD．EPPF2.(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为312，求线段CE的长.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【跟踪训练】1.（如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝12AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为612，求侧面△SAB的面积.(1)证明设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝2a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝222cos45ABBDABDB＝2a，因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)解由(1)可知AD＝SD＝2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝6a.作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH＝SDsin60°＝62a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH.又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥S－BCD的高，所以VS－BCD＝13×62a×12×a2＝612，解得a＝1.由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB＝22SDBD＝22＝2.又AB＝2，SA＝6，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为642＝102，则△SAB的面积为12×6×102＝152.达标检测要扎实一、单选题1．在空间中，下列命题是真命题的是（）A．经过三个点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两直线相互平行C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1AD上运动，则下列命题中错误的是（）A．直线1PC和平面11AADD所成的角为定值B．点P到平面1CBD的距离为定值C．异面直线1CP和1CB所成的角为定值D．直线CD和平面1BPC平行3．在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCDABCD中，点M为CD的中点，点P在侧面11ADDA上，且到11AD的距离为6，到1AA的距离为5，则过点P且与1AM垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF，则三棱锥ABEF的体积为（）A．112B．14C．212D．不确定5．如图.AB是圆的直径，PAAC，PABC，C是圆上一点(不同于A，B)，且PAAC，则二面角PBCA的平面角为（）A．PACB．CPAC．PCAD．CAB6．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBCB．BC⊥平面PDCC．PD⊥ACD．PB＝2AN7．如图，正方体1111ABCDABCD中，E为AB中点，F在线段1DD上.给出下列判断：①存在点F使得1AC平面1BEF；②在平面1111DCBA内总存在与平面1BEF平行的直线；③平面1BEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥1BBEF的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．已知正三棱锥ABCF和正四棱锥ABCDE的所有棱长均为2，如图将三棱锥ABCF的一个面和正四棱锥ABCDE的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（）A．//AFCDB．AFDEC．新几何体为三棱柱D．正四棱锥ABCDE的内切球半径为22二、多选题9．如图，点P在正方体1111ABCDABCD的面对角线1BC上运动，则下列结论中正确的是（）A．三棱锥11APBD的体积不变B．//DP平面11ABDC．11APBDD．平面1ACP平面PBD10．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段1AB上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A．平面11DAP平面1AAPB．1APDCuuuruuuur不是定值C．三棱锥11BDPC的体积为定值D．11DCDP11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取30，侧棱长为21米，则（）A．正四棱锥的底面边长为6米B．正四棱锥的底面边长为3米C．正四棱锥的侧面积为243平方米D．正四棱锥的侧面积为123平方米12．正方体1111ABCDABCD，的棱长为4，已知1AC平面α，1AC，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．α截得的截面形状可能为正三角形B．1AA与截面α所成角的余弦值为63C．α截得的截面形状可能为正六边形D．β截得的截面形状可能为正方形三、填空题13．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1BC上运动，给出下列结论：①异面直线AP与1DD所成的角范围为ππ,32；②平面1PBD平面11ACD；③点P到平面11ACD的距离为定值233；④存在一点P，使得直线AP与平面11BCCB所成的角为π3.其中正确的结论是___________.14．正四棱柱1111ABCDABCD中，4AB，123AA.若M是侧面11BCCB内的动点，且AMMC，则1AM与平面11BCCB所成角的正切值的最大值为___________.15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．16．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与BD的距离为______．四、解答题17．如图长方体1111ABCDABCD中，1ABAD，12AA，点E为1DD的中点.（1）求证：1//BD平面ACE；（2）求证：1EB平面ACE；（3）求二面角1ACEC的余弦值.18．如图，在四棱锥PABCD中，PAD△是等腰直角三角形，90DPA，底面ABCD是直角梯形，其中ABAD，2AD，3AB，1BC，3PB，（1）证明：PC平面PAD；（2）求二面角DPBC的正切值．19．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N,AE⊥PB，垂足为E.（1）求证：平面PAM⊥平面PBM.（2）求证：AEN是二面角A-PB-M的平面角.20．如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC为长方形，11AA，2ABBC，120ABC，AMCM.(1)求证：平面11AACC平面1CMB；(2)求直线1AB和平面1CMB所成角的正弦值；(3)在线段1AB上是否存在一点T，使得点T到直线1MC的距离是133，若存在求1AT的长，不存在说明理由.21．如图，在直角梯形ABCD中，//ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC的中点．将ABD△沿BD折起，使ABAC，连接AE、AC、DE，得到三棱锥ABCD．(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)若1AD，二面角BADE的大小为60°，求三棱锥ABCD的体积．22．在多面体ABCDEF中，正方形ABCD和矩形BDEF互相垂直，G、H分别是DE和BC的中点，2ABBF．（1）求证：ED平面ABCD．（2）在BC边所在的直线上存在一点P，使得//FP平面AGH，求FP的长；