第25节 直线、平面垂直的判定与性质（解析版）

第25节直线、平面垂直的判定与性质基础知识要夯实1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.【解析】(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝253，CH＝sin455OCMCACBOM.所以点C到平面POM的距离为455.【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A．ADBCB．ACBDC．PEPFD．EPPF【答案】D【解析】根据相等向量的定义，分析可得AD与BC不平行，AC与BD不平行，所以ADBC,ACBDuuuruuur均错误.PE与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以EPPFuuruuur.故选：D2.(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为312，求线段CE的长.【解析】(1)证明∵AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得BC21＝BC2＋CC21－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴BC1＝3，∴BC2＋BC21＝CC21，∴BC⊥BC1，又AB，BC⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.(2)解∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝13S△BCE·AB＝13S△BCE·1＝312，∴S△BCE＝34＝12CE·BC·sin∠BCE＝12CE·32，∴CE＝1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【跟踪训练】1.（如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝12AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为612，求侧面△SAB的面积.(1)证明设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝2a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝222cos45ABBDABDB＝2a，因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)解由(1)可知AD＝SD＝2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝6a.作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH＝SDsin60°＝62a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH.又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥S－BCD的高，所以VS－BCD＝13×62a×12×a2＝612，解得a＝1.由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB＝22SDBD＝22＝2.又AB＝2，SA＝6，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为642＝102，则△SAB的面积为12×6×102＝152.达标检测要扎实一、单选题1．在空间中，下列命题是真命题的是（）A．经过三个点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两直线相互平行C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面【答案】D【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面,垂直于同一个平面，且l，则在平面、内分别存在直线,mn垂直于平面，由线面垂直的性质可知//nm，再由线面平行的判定定理得//m，由线面平行的性质得出//ml，则l，故D正确；故选：D2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1AD上运动，则下列命题中错误的是（）A．直线1PC和平面11AADD所成的角为定值B．点P到平面1CBD的距离为定值C．异面直线1CP和1CB所成的角为定值D．直线CD和平面1BPC平行【答案】A【解析】对A，由11CD平面11AADD，当点P分别在点A或1D时，线面角不一致，故A错误；对B，由1AD//1BC,1BC平面1CBD,1AD平面1CBD,所以1AD//平面1CBD，所以点P到平面1CBD的距离为直线1AD上任意点到平面1CBD的距离，故B正确对C，由平面1CPB即平面11ABCD,111,CBBCCBAB,1ABBCBI,1,ABBC平面11ABCD，所以1CB平面11ABCD，所以11CBCP，故C正确对D，由平面1CPB即平面11ABCD，CD//11CD，11CD平面11ABCD，CD平面11ABCD，所以CD//平面11ABCD，所以D正确故选：A3．在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCDABCD中，点M为CD的中点，点P在侧面11ADDA上，且到11AD的距离为6，到1AA的距离为5，则过点P且与1AM垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】B【解析】如图所示，过点P作1//EFAD分别交11,AADD于点,EF，因为11ADAD，可得1EFAD，在正方体1111ABCDABCD中，CD平面11ADDA，所以EFCD又1CDADD,所以EF平面1MDA,1AD平面1MDA,所以1ADEF过P作11PKAD交于11AD点K，则6PK,设KFx则11AEAF,所以11FKKPFAAE，即116xAEAF,则6x所以115611AFAKKF在正方形1111DCBA中，取11CD的中点1M，连接111,MMAM则111AMDV与11DCNV,则11111DAMNDC所以111111111190NDMDMANDMDAM,即111AMDN取11BC的中点N，过F作1//FHDN交11BC于点H，连接1DN，则11AMFH又1MM平面1111DCBA,所以1MMFH,由1111MMAMM所以FH平面11AMM，所以1FHAM又EFFHF，所以1AM平面EFH连接1BC，过H作1//HGBC,由11//BCAD，则1//BCFE，所以//HGFE(且HGFE)连接EG，则四边形EFHG为梯形，所以1AM平面EFHG所以截面的形状为四边形边形EFHG.故选：B.4．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF，则三棱锥ABEF的体积为（）A．112B．14C．212D．不确定【答案】A【解析】由题可知，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则11//BD平面ABCD，又E，F在线段11BD上运动，//EF平面ABCD，点B到直线11BD的距离不变，由正方体的性质可知1BB平面1111DCBA，则1BBEF，而22EF，1=1BB，故BEF的面积为1221=224，又由正方体可知，ACBD，1ACBB，且1BDBBB，AC平面11BBDD，则AC平面BEF，设AC与BD交于点O，则AO平面BEF，点A到平面BEF的距离为22AO，122134212ABEFV.故选：A.5．如图.AB是圆的直径，PAAC，PABC，C是圆上一点(不同于A，B)，且PAAC，则二面角PBCA的平面角为（）A．PACB．CPAC．PCAD．CAB【答案】C【解析】∵C是