第27节 直线的方程与两直线的位置关系（解析版）

第27节直线的方程与两直线的位置关系基础知识要夯实1．直线的倾斜角❶(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α2，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)❷在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝2121yyxx.3．直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式112121yyxxyyxx不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式1xyab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式❸Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．如果y2＝y1，x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．4.斜率与倾斜角的关系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．(2)当直线l的倾斜角α∈02，时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈2，时，α越大，直线l的斜率越大．(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tanα的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在02，∪2，上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：①化为截距式：Ax＋By＝－C，即1xyCCAB.②化为斜截式：y＝－ABx－CB.③化为点斜式：先求出直线过定点0,CB，k＝－AB，则点斜式为y－CB＝－(x－0)．(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，若A＝0，则y＝－CB，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－CA，它表示一条与x轴垂直的直线.5．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.6．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组1112220,0,AxByCAxByC的解．7．三种距离公式(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝222121()()xxyy.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝0022||AxByCAB.应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离：d＝1222||CCAB.两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等[熟记常用结论]1．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.4．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．基本技能要落实考点一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A．[0，π)B.04，∪34，C.04，D.04，∪2，(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】(1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，又－sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤4或34≤θ＜π.(2)如图，因为kAP＝1021＝1，kBP＝30=301，所以直线l的斜率k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【跟踪训练】1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2【答案】D【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D.2．已知点(－1,2)和3,03在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．【答案】2334，【解析】点(－1,2)和3,03在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)313a＞0，解得－3＜a＜－1，即直线l的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是2334，考点二直线的方程【例2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为12xyaa，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.【方法技巧】求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．[提醒](1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.【跟踪训练】1.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，设l的方程为1xyaa，因为l过点(4,1)，所以411aa，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝22tan31tan4又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.考点三两条直线的平行与垂直【例3】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值.【解析】(1)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－（a＋1），解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔a（a－1）－1×2＝0，a（a2－1）－1×6≠0⇔a2－a－2＝0，a（a2－1）≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.(2)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由－a2·11－a＝－1，得a＝23.法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.【方法技巧】1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【跟踪训练】1.(2022·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A.6x－4y－3＝0B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0D.2x＋3y－1＝0【答案】A【解析】因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为12，0，直线3x－2y＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为y＝32x－12，化为一般式，得6x－4y－3＝0.2.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.【答案】1【解析】由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.考点四两直线的交点与距离问题【例4】(1)(2022·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为()A.－32，－1B.－∞，－32∪(－1，＋∞)C.－∞，－13∪