第28节 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）

第28节圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识要夯实1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.3.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ＝0Δ0几何观点drd＝rdr4.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切线条数432105.常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1＋k2·（xM＋xN）2－4xM·xN.基本技能要落实考点一圆的方程1.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.【答案】x2＋y2－2x＝0【解析】法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝12|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.2.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为6，则圆C的方程为________.【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2【解析】法一∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴可设所求圆的圆心为(a，－a).∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d2＋622＝r2，即（2a－3）22＋32＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝|a－b－3|2，∴r2＝（a－b－3）22＋32，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴|a－b|12＋（－1）2＝r.②又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝－1，r＝2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.3.(2021·兰州、张掖重点中学联考)设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x－3)2＋y2＝2B.(x－3)2＋y2＝8C.(x＋3)2＋y2＝2D.(x＋3)2＋y2＝8【答案】A【解析】因为A(2，－1)，B(4，1)，所以由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(3，0)，即圆心为(3，0)，又半径r＝12|AB|＝12（2－4）2＋（－1－1）2＝2，所以所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2，故选A.4.(2021·郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为()A.(x＋3)2＋(y＋2)2＝4B.(x＋4)2＋(y－6)2＝4C.(x－4)2＋(y－6)2＝4D.(x＋6)2＋(y＋4)2＝4【答案】C【解析】设对称圆的圆心为(m，n)，则n－12m＋2＝－1，m－22－n＋122＋8＝0，解得m＝4，n＝6，所以所求圆的圆心为(4，6)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4，故选C.考点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【解析】(1)法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).【方法技巧】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【跟踪训练】1.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.【解析】如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x2＝x0－32，y2＝y0＋42，整理得x0＝x＋3，y0＝y－4，又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点－95，125和－215，285，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点－95，125和－215，285.考点三直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)【答案】C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.2.(2022·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】A【解析】法一(代数法)由mx－y＋1－m＝0，x2＋（y－1）2＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋200，所以直线l与圆相交.法二(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝|－m|m2＋115，故直线l与圆相交.法三易得直线l过定点(1，1).把点(1，1)代入圆的方程有1＋05，∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交.3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件.【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点四圆的弦长问题【例4】(1)(2021·济南调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为()A.±3B.±2C.±32D.±22(2)(2020·河南名校联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x＋4y－12＝0或x＝0【答案】(1)A(2)D【解析】(1)圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为32，即|k|12＋k2＝32，解得k＝±3，故选A.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，由x＝0，x2＋y2－2x－2y－2＝0，得x＝0，y＝1－3或x＝0，y＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，半径r＝2，∴圆心C(1，1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝|k－1＋3|k2＋1＝|k＋2|k2＋1，∵d2＝r2－|AB|22，∴（k＋2）2k2＋1＝4－2322，即(k＋2)2＝k2＋1，解得k＝－34，∴直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选D.【方法技巧】弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.【跟踪训练】1.过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为____