第28节 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）

第28节圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识要夯实1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.3.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ＝0Δ0几何观点drd＝rdr4.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切线条数432105.常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1＋k2·（xM＋xN）2－4xM·xN.基本技能要落实考点一圆的方程1.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.2.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为6，则圆C的方程为________.3.(2021·兰州、张掖重点中学联考)设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x－3)2＋y2＝2B.(x－3)2＋y2＝8C.(x＋3)2＋y2＝2D.(x＋3)2＋y2＝84.(2021·郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为()A.(x＋3)2＋(y＋2)2＝4B.(x＋4)2＋(y－6)2＝4C.(x－4)2＋(y－6)2＝4D.(x＋6)2＋(y＋4)2＝4考点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【方法技巧】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【跟踪训练】1.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.考点三直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)2.(2022·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点四圆的弦长问题【例4】(1)(2021·济南调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为()A.±3B.±2C.±32D.±22(2)(2020·河南名校联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x＋4y－12＝0或x＝0【方法技巧】弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.【跟踪训练】1.过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.考点五圆的切线问题【例5】(1)(经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为()A.(2，1)B.(2，2)C.(2，2)D.(2，0)【方法技巧】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.【跟踪训练】1.(2022·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两点A，B满足∠AOB＝60°，则实数a的最大值是()A.5B.3C.7D.23考点六圆与圆的位置关系【例6】已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.【方法技巧】1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.【跟踪训练】1.已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，若这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A.{1，－1，3，－3}B.{5，－5，3，－3}C.{1，－1}D.{3，－3}(2)(2021·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条达标检测要扎实1．已知圆222(0)xyrr与直线2ykx至少有一个公共点，则r的取值范围为（）A．2rB．1r…C．2r…D．02r„2．若点1,1P在圆22:0Cxyxyk的外部，则实数k的取值范围是（）A．2,B．12,2C．12,2D．2,23．两圆221:(3)4Cxy与222:(4)9Cxy的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．圆22122xy+关于直线l：20xy对称的圆的方程为（）A．22412xyB．22412xyC．22412xyD．22412xy5．过圆22:(1)4Mxy内一点2,1A作一弦交圆于B、C两点，过点B、C分别作圆的切线PB、PC，两切线交于点P，则点P的轨迹方程为（）A．50yB．50xyC．50xyD．50xy6．过点2,1P作圆22:(1)4Mxy的最短弦，延长该弦与x轴、y轴分别交于,AB两点，则ABM的面积为（）A．2B．3C．4D．57．已知1,0A，1,0B，圆C：2224xyR（0R），若圆C上存在点M，使90AMB，则圆C的半径R的范围是（）A．35RB．34RC．45RD．242R8．P为22:220Cxyxy上一点，Q为直线:2270lxy上一点，则线段PQ长度的最小值为（）A．324B．233C．223D．229．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2与直线x﹣y＝0交于A，B两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C，则圆C的半径r的值为（）A．1B．2C．2D．410．已知圆221:2440Cxyxy，圆222:4210Cxyxy，M，N分别为圆1C和圆2C上的动点，P为直线:2lyx上的动点，则MPNP的最小值为（）A．2103B．2103C．103D．10311．如果复数z满足12zi，那么2zi的最大值是（）A．132B．23iC．132D．13412．已知圆221:4240Cxyxy，2223311:222Cxy，则这两圆的公共弦长为（）A．4B．22C．2D．1二、填空题13．圆221:29Cxmy与圆222:14Cxym内切，则m的值为______.14．已知平面直角坐标系中，(1,0),(1,1)AB，若,,ABC是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C的坐标是___________.15．已知圆2200:8Mxxyy，点(2,4)T，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为1k，2k，121kk，则||TM的取值范围为________．16．已知圆的方程为22(2)(3)16xy，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________.三、解答题17．已知圆M过点(2,0)P，(1,3)Q，且点P关于直线20xy的对称点P仍在圆M上．（1）求圆M的方程；（2）设(,)Pxy是圆M上任意一点(2,2)A，(2,6)B，(4,2)C求222PAPBPC的最大值和最小值．18．已知2,0A，3,3B，1,1C.（1）求点A到直线BC的距离；（2）求ABC的外接圆的方程.19．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2），,,OAB是三个军事基地，C为一个军事要塞.已知tan2,20AOBOAkm，C到,OAOB的距离分别为10km，65km.（1）求两个军事基地AB的长；（2）若要塞C正北方向距离要塞20km处有一E城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半径为rat(a为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以602km/h的速度自基地A开往基地B，问实数a在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.20．已知直线:212420lmxmym与圆22:20Cxxy