第29节 椭圆（原卷版）

第29节椭圆基础知识要夯实1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.5.AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.基本技能要落实考点一椭圆的定义及其应用【例1】1.(2022·保定模拟)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.2.椭圆C：x2a2＋y2＝1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为23，则△PF1F2的周长为________.3.设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.【方法技巧】1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.考点二椭圆的标准方程【例2】(1)(2021·湖北四地七校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为()A.x24＋y23＝1B.x216＋y212＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y22＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(3)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.【方法技巧】根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(3)椭圆系方程①与x2a2＋y2b2＝1共焦点的椭圆系为x2a2－k＋y2b2－k＝1(kb2).②与x2a2＋y2b2＝1有共同的离心率的椭圆系为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(λ0).【跟踪训练】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________.考点三椭圆的几何性质【例3】(1)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223(2)(2022·成都质检)已知椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，焦距为2c，直线l：y＝24x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.32B.34C.12D.14(3)(2022·淮北一模)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________.【例4】(1)已知点A(0，2)及椭圆x24＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.(2)(2021·江西大联考)椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足F1M→·F2M→＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.0，22B.0，22C.22，1D.22，1【方法技巧】求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.(3)利用公式e＝1－b2a2求解.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.【跟踪训练】1.(2022·长沙一模)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________.2.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，13.已知点P(0，1)，椭圆x24＋y2＝m(m1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.考点四直线与椭圆的位置关系【例4】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.【方法技巧】研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【跟踪训练】1.若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A.m1B.m0C.0m5且m≠1D.m≥1且m≠5考点五中点弦及弦长问题【例5】已知P12，12为椭圆x22＋y2＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程.【方法技巧】弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.1.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝1＋k2|x1－x2|；②|AB|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)；③|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]；④|AB|＝1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2].2.注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点.【跟踪训练】1.(2022·石家庄模拟)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.【答案】22【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，∴（x1－x2）（x1＋x2）a2＋（y1－y2）（y1＋y2）b2＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.∵y1－y2x1－x2＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－b2a2＝－12，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ca＝22.即椭圆C的离心率e＝22.2.已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________.考点六直线与椭圆的综合问题【例6】(2021·广州综合测试)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点M(－2，1)，且右焦点F(3，0).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA→·MB→，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值.【方法技巧】1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法.2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m，避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋b的形式，若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.【跟踪训练】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.达标检测要扎实一、单选题1．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别139、5645、107，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为1e、2e、3e，则（）A．132eeeB．231eeeC．123eeeD．213eee2．椭圆222:1(0)3xyEaa的右焦点为F，直线yxm与椭圆E交于A，B两点，若FAB周长的最大值是8，则m的值等于（）A．0B．1C．3D．23．已知F是椭圆22:115xyCm的右焦点，点352,2A