第30节 双曲线（原卷版）

第30节双曲线基础知识要夯实1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.4.若渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2tanθ2.基本技能要落实考点一双曲线的标准方程1.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±34x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝12.与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D.x2－y22＝13.经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________.4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________.【方法技巧】1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn0)，再根据条件求解.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).考点二双曲线的定义及应用【例2】(1)(2021·合肥质检)x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示的曲线方程为()A.x24－y25＝1(x≤－2)B.x24－y25＝1(x≥2)C.y24－x25＝1(y≤－2)D.y24－x25＝1(y≥2)(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.(3)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.【方法技巧】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.【跟踪训练】1.(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A.1B.2C.4D.82.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x2)B.y24－x221＝1(y2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1考点三双曲线的性质【例3】(2022·东北三省三校联考)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若F2P→＝3F2A→，则双曲线C的渐近线方程为()A.y＝±12xB.y＝±xC.y＝±2xD.y＝±25x【例4】(1)(2022·重庆调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的顶点到渐近线的距离为a2，则该双曲线的离心率为()A.23B.2C.32D.233(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.【方法技巧】双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线是由x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.【跟踪训练】1.(2022·北京东城区综合练习)双曲线C：x2－y2b2＝1(b0)的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.52.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.5D.6考点四双曲线几何性质的综合应用【例4】(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233(2)(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5(3)(2021·淮南一模)已知双曲线x24－y2b＝1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A＝120°，则△ABF1的周长为()A.1633＋8B.4(2－1)C.433＋8D.2(3－2)【方法技巧】1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【跟踪训练】1.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.322.(2021·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，2]B.[2，＋∞)C.(1，2]D.[2，＋∞)达标检测要扎实一、单选题1．已知1F、2F为双曲线22122:10,0xyCabab的焦点，P为222xyc与双曲线1C的交点，且有121tan3PFF，则该双曲线的离心率为（）．A．102B．173C．2D．32．已知双曲线221169xy上有一点P到一个焦点距离为12，则到另一个焦点的距离为（）A．4或20B．20C．4D．6或183．已知1F是双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点，过点1F作垂直于x轴的直线交于双曲线C于,AB两点，,EG分别为双曲线的左、右顶点，连接AE交y轴于点M，连接MG并延长交AB于点N，且N为线段1FB的中点，则双曲线的离心率为A．2B．52C．3D．724．双曲线221xy的焦距为（）A．2B．2C．22D．45．已知椭圆22122:1(0)xyCabab，双曲线22212222:1,,2xyCFFbab为2C的焦点，P为1C和2C的交点，若12PFF△的内切圆的圆心的横坐标为2，1C和2C的离心率之积为32，则a的值为（）A．2B．3C．4D．56．已知平行于x轴的直线l与双曲线C：222210,0xyabab的两条渐近线分别交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPQ△为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．2B．233C．3D．337．设双曲线C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．88．若双曲线22:1916xyE的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF等于（）A．11B．9C．5D．39．设F为双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B．3C．2D．510．已知1F，2F为双曲线22122:1xyCab的焦点，P为222xyc与双曲线1C的交点，且有121tan4PFF，则该双曲线的离心率为（）A．355B．62C．173D．211．设O为坐标原点，直线xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3212．已知双曲线22221(0,0)yxabab的一条渐近线方程为yx，且焦距为4，则双曲线焦点到渐近线的距离为（）A．2B．1C．3D．2二、填空题13．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为____________．14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.48c，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.15．双曲线2213yx的两条渐近线的方程为______.16．已知双曲线2222:10,0xyCabab的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为__________.三、解答题17．已知双曲线E：222210,0xyabab的离心率为2，点2,3P在E上.（1）求E的方程：（2）过点0,1Q的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，