第30节 双曲线（解析版）

第30节双曲线基础知识要夯实1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.4.若渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2tanθ2.基本技能要落实考点一双曲线的标准方程1.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±34x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝1【答案】B【解析】由题意得ba＝34，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.2.与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D.x2－y22＝1【答案】B【解析】法一椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0).设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x22－y2＝1.法二设所求双曲线标准方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1λ4)，将点P(2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x22－y2＝1.3.经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________.【答案】y225－x275＝1【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3，27)，Q(－62，7)，所以9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________.【答案】x25－y220＝1【解析】设所求双曲线的标准方程为y24－x2＝－λ(λ0)，即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x25－y220＝1.【方法技巧】1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn0)，再根据条件求解.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).考点二双曲线的定义及应用【例2】(1)(2021·合肥质检)x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示的曲线方程为()A.x24－y25＝1(x≤－2)B.x24－y25＝1(x≥2)C.y24－x25＝1(y≤－2)D.y24－x25＝1(y≥2)(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.(3)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.【答案】(1)C(2)23(3)9【解析】(1)x2＋（y－3）2的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，x2＋（y＋3）2的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示的曲线方程为y24－x25＝1(y≤－2)，故选C.(2)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.(3)因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4，0)，设其右焦点为H(4，0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9(当A，P，H三点共线时取等号).【方法技巧】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.【跟踪训练】1.(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】法一设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝12mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝ca＝5，所以a＝1.法二由题意得，S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BF|＝|AG|－|BG|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x24－y221＝1(x2).2.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x2)B.y24－x221＝1(y2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1【答案】A【解析】如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BF|＝|AG|－|BG|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x24－y221＝1(x2).考点三双曲线的性质【例3】(2022·东北三省三校联考)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若F2P→＝3F2A→，则双曲线C的渐近线方程为()A.y＝±12xB.y＝±xC.y＝±2xD.y＝±25x【答案】A【解析】不妨设直线F2P与渐近线y＝bax垂直，则直线F2P的斜率为－ab，又F2(c，0)，所以直线F2P的方程为y＝－ab(x－c)，则由y＝bax，y＝－ab（x－c），解得x＝a2c，y＝abc，所以Pa2c，abc，所以F2P→＝a2c－c，abc.设A(xA，yA)，则F2A→＝(xA－c，yA)，又F2P→＝3F2A→，所以a2c－c＝3（xA－c），abc＝3yA，解得xA＝a2＋2c23c，yA＝ab3c，则Aa2＋2c23c，ab3c，代入双曲线的方程x2a2－y2b2＝1，结合c2＝a2＋b2，整理，得a2＝4b2，所以ba＝12，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±12x，故选A.【例4】(1)(2022·重庆调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的顶点到渐近线的距离为a2，则该双曲线的离心率为()A.23B.2C.32D.233(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.【答案】(1)D(2)2【解析】(1)由题意，知点(a，0)到直线bx－ay＝0的距离为a2，所以a2＝|ab|a2＋b2，ba2＝13，所以e＝1＋13＝233.(2)点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为c，b2a，点A的坐标为(a，0)，∵AB的斜率为3，∴b2ac－a＝3，即c2－a2a（c－a）＝c＋aa＝e＋1＝3，∴e＝2.【方法技巧】双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线是由x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.【跟踪训练】1.(2022·北京东城区综合练习)双曲线C：x2－y2b2＝1(b0)的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】由题意，知双曲线C的实半轴长a＝1，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±bx，把x＝1代入y＝±bx，得y＝±b，所以|AB|＝2b＝4，解得b＝2，所以c＝a2＋b2＝5，所以离心率e＝ca＝5，故选D.2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.5D.6【答案】5【解析】法一不妨设渐近线l的方程为y＝bax，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.设过点F2且与l平行的直线的倾斜角为α，则tanα＝ba，所以cosα＝aa2＋b2＝ac，所以cos∠F1F2M＝ac.在△F1F2M中，由余弦定理cos∠F1F2M＝|F1F2|2＋|MF2|2－|F1M|22|F1F2|·|MF2|，得ac＝（2c）2＋（2a）2－（4a）22·2c·2a，整理得c2＝5a2，即c＝5a，所以e＝ca＝5.法二不妨