第33节 圆锥曲线中的最值范围问题探究性问题（原卷版）

第33节圆锥曲线中的范围最值问题及探究性问题基本技能要落实考点一最值问题【例1】(2021·齐齐哈尔一模)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，(1)求Γ的方程；(2)如图所示，过右焦点F2的直线交椭圆Γ于A，B两点，连接AO并延长，交Γ于点C，求△ABC面积的最大值.【方法技巧】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【跟踪训练】1.(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C1：x22＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A).(1)若p＝116，求抛物线C2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.考点二范围问题【例2】已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是双曲线C2：x2m2－y2＝1的左、右焦点，且C1与C2相交于点233，33.(1)求椭圆C1的标准方程；(2)设直线l：y＝kx－13与椭圆C1交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【方法技巧】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【跟踪训练】1.(2022·齐鲁名校联合测试)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆于A，B两点.(1)若点A恰好为椭圆的上顶点，且|AB|＝52|F1B|，求椭圆E的标准方程；(2)若点A关于点F2的对称点为点C，且点C恰好在椭圆上，求点B的横坐标的取值范围.考点三探究性问题【例3】(2022·郑州模拟)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝94的圆心C在抛物线x2＝2py(p0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程.(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.【方法技巧】此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【跟踪训练】1.(2022·西安模拟)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点1，32，且离心率为32，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－3)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.考点四证明问题【例4】(2022·成都诊断)已知点A(1，－32)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，直线l：xa2－3y2b2＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－14.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线y＝32x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.【方法技巧】圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.【跟踪训练】(2021·景德镇一模)抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，△ECD是面积为4的直角三角形.(1)求抛物线的方程；(2)若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，求证：直线AB与抛物线相切.达标检测要扎实一、解答题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为94，求点P到直线l距离的最大值．2．（2022·四川成都·模拟预测（文））平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C与直线1x相切．圆心C的轨迹记为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设,AB为曲线上的两点，记AB中点为M，过M作AB的垂线交x轴于N．①求NMxx-；②当10AB时，求Nx的最大值．3．（2022·吉林一中高二阶段练习（理））已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且122kk．(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；(2)求△POQ面积的最小值．4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：222210xyabab的一个焦点为5,0，离心率为53．点P为圆M：2213xy上任意一点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求PQ的取值范围；(3)设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．5．（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知圆C过定点A（0，p）(p＞0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.(1)当点C运动时，｜MN｜是否变化？试证明你的结论；(2)求mnnm的最大值.6．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为12，椭圆的右焦点F与抛物线24yx的焦点重合．(1)求椭圆C的方程．(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线4x交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为1k，2k，3k，是否存在实数，使得132kkk？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．7．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知椭圆2222:10xyCabab的长轴是短轴的3倍，左、右焦点分别为1F，2F，点122,3在椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点2,0Q且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，是否在x轴正半轴存在点,0Tt，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．（2022·四川达州·高三模拟）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左､右焦点分别为1F，2F，点31,2P在椭圆C上，且1120PFFF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在过点0,1Q的直线l，交椭圆C于M，N两点，使得11MPFNPF？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.9．（2022·江苏南通·高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点(3,0)F，直线43:3lx，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为32，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点M且与C相切的直线交椭圆22:1164xyE于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问ABN的面积是否为定值?请说明理由．10．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆：22110025xy，焦点为1F､2F，过x轴上的一点M（m，0）（Rm）作直线l交椭圆于A､B两点.(1)若点M在椭圆内，①求多边形12AFBF的周长；②求AM的最小值fm的表达式；(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得22OAOBOAOB成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.