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第35节概率基本技能要落实考点一排列组合【例1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．[答案](1)60(2)24[解析](1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.(2)根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．【例2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【答案】720【解析】添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A1010A77＝720(种)．【例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．【答案】(1)90(2)36(3)360【解析】(1)先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90(种)分派方法．(2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有C24C12C11A22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．(3)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．【方法技巧】解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类；(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．解定序排列问题的方法定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Ann除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Amm，即得到不同排法种AnnAmm＝An－mn.分组、分配问题的求解策略1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．考点二古典概型【例2】(1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116(2)(2022·合肥市第一次质检测)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为()A.45B.1925C.2350D.41100【答案】(1)A(2)C【解析】(1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C36×C33＝20种．故所求概率P＝2064＝516，故选A.(2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)＝4C25＝25，P(B)＝C25－4C25C25＝350，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝25＋350＝2350，故选C.【方法技巧】1．古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)＝mn求解．2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．(4)运用排列组合知识计算．【跟踪训练】1．(2019·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是()A.16B.14C.13D.12解析：选B甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为14，选B.2．(2019·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是()A.15B.25C.35D.710解析：选D从5名干部中随机选取2人有C25＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有C13＝3(种)选法，只选中B没选中A有C13＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝3＋3＋110＝710，故选D.3．(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是()A.35B.45C.720D.1320解析：选D依题意，从口袋中任取3个球，共有C36＝20(种)不同的取法，①当取得三个球颜色相同，则有C33＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有C13C12C11＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－1＋620＝1320.考点三超几何分布【例3】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．[解](1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以随机变量X的分布列为X012P415715415【方法技巧】1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．2．求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．【跟踪训练】1．某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13C27＋C03C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．所以随机变量X的分布列是X0123P16123101302．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142考点四二项分布【例4】(2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求