第36节 参数方程（原卷版）

第36节参数方程基本技能要落实考点一极坐标系与直角坐标系互化【例1】1.将直角坐标方程与极坐标方程互化：(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝π3(ρ∈R)；(4)ρcos2θ2＝1；(5)ρ2cos2θ＝4；(6)ρ＝12－cosθ.2.(1)若点P的极坐标为3，－π4，求点P的直角坐标；(2)求直线θ＝π4(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标.【方法技巧】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.考点二求曲线的极坐标方程【例2】(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【方法技巧】求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.【跟踪训练】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝1，圆C的圆心是C1，π4，半径为1.求：(1)圆C的极坐标方程；(2)直线l被圆C所截得的弦长.考点三极坐标方程的应用【例3】(2022·郑州质检)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△MPQ的面积.【方法技巧】1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；(2)当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【跟踪训练】1.(2022·南昌模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x＝2＋rcosφ，y＝rsinφ(r0，φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P23，π6，曲线C2的极坐标方程为ρ2(2＋cos2θ)＝6.(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若Aρ1，α－π6，Bρ2，α＋π3是曲线C2上两点，求1|OA|2＋1|OB|2的值.考点四参数方程的应用【例4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.（2）(2022·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝5cosα，y＝2＋5sinα(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2＝4ρcosθ－3.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值.【方法技巧】1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是P0P→的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.【跟踪训练】1.(2022·南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝cosθ，y＝cos2θ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝t，y＝－5＋22t(t为参数).(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)设P，Q分别是直线l和曲线C上的动点，求|PQ|的最小值.解(1)因为y＝cos2θ＝2cos2θ－1，x＝cosθ，所以曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤1)，由x＝t，y＝22t－5得y＝22x－5，所以直线l的普通方程为y＝22x－5.(2)作直线l′：y＝22x＋b与曲线C相切，则|PQ|的最小值为直线l与直线l′的距离.将l′与C的方程联立，消去y，可得2x2－22x－(b＋1)＝0，则Δ＝8＋8(b＋1)＝0，解得b＝－2，故直线l′：y＝22x－2，从而直线l与直线l′的距离为|－2－（－5）|（22）2＋1＝1，即|PQ|的最小值为1(当且仅当切点Q的横坐标为22时取到最小值).达标检测要扎实一、解答题1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2cossin20．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点0,2P，求11PAPB的值．2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为23xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：2sin6cos．(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点2,0M的直线l与C相交于A，B两点，求AMBM的值．3．在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆1C：2245204xyx内切，且与圆2C：223204xyx外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)过圆心2C的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心1C的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值．4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为42cos0,22sinxy．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为cos24．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点0,2P，直线l与曲线C分别交于A，B两点，点M是AB的中点，求PM的长．5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为112312xy（为参数）．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知点(2,0)M，直线l的参数方程为2xtyt（t为参数，tR），且直线l与曲线C交于A、B两点，求11||||MAMB的值．6．当在0,2内变动时，求抛物线24sincos2yxx顶点P的轨迹．7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1,costan2xtty（t为参数，ππ22t）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为π3coscos1=062m+--（Rm）.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围.8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1costan2xtty（t为参数，22t）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为3coscos1062mmR．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围．9．在直角坐标系xOy中，曲线1C：221xy经过伸缩变换2xxyy后得到曲线2C，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sin224．(1)写出曲线2C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)在曲线2C上求一点P，使点P到直线l的距离最小并求出最小值．【解析】（1）由题意，曲线1C的参数方程为cos,sin,xy为参数，经过伸缩变换2,xxyy后，曲线2C的参数方程为2cos,sin,xy为参数，由πsin224得：22sincos2222，化为直角坐标方程为40xy，所以，曲线2C的参数方程为2cos,sin,xy为参数，直线l的直角坐标方程为40xy．（2）设(2cos,sin)P，点P到直线l的距离为5sin()42cossin422d，（其中，25sin5，5cos5），当sin()1时，即π2π2k，Zk时，点P到直线l的距离d取到最小值42102，此时，π25coscos2πsin25k，Zk，π5sinsin2πcos25k，Zk，所以，点P的坐标为455,55．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为252,555xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是24cos5.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于,AB两点，点2,0P，求11PAPB的值.