专题03 导数及其应用（选填题）（文科专用）（教师版）

专题03导数及其应用（选填题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+𝑏𝑥取得最大值−2，则𝑓′(2)=（）A．−1B．−12C．12D．1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知𝑓(1)=−2，𝑓′(1)=0即可解得𝑎,𝑏，再根据𝑓′(𝑥)即可解出．【详解】因为函数𝑓(𝑥)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，𝑓(1)=−2，𝑓′(1)=0，而𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−𝑏𝑥2，所以𝑏=−2,𝑎−𝑏=0，即𝑎=−2,𝑏=−2，所以𝑓′(𝑥)=−2𝑥+2𝑥2，因此函数𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，𝑥=1时取最大值，满足题意，即有𝑓′(2)=−1+12=−12．故选：B.2．【2021年乙卷文科】设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A．abB．abC．2abaD．2aba【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,ab所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若ab，则3fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.fx有xa和xb两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.当0a时，由xb，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.当0a时，由xb时，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.3．【2019年新课标2卷文科】曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．10xyB．2210xyC．2210xyD．10xy【答案】C【解析】【分析】先判定点(,1)是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x时，2sincos1y，即点(,1)在曲线2sincosyxx上．2cossin,yxx2cossin2,xy则2sincosyxx在点(,1)处的切线方程为(1)2()yx，即2210xy．故选C．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．4．【2020年新课标1卷文科】曲线ln1yxx的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2yx【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)xy，对函数求导，利用0|2xy，求出0x，代入曲线方程求出0y，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln1,1xyyxxyx，00001|12,1,2xxyxyx，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)yx，即2yx.故答案为：2yx.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5．【2020年新课标3卷文科】设函数e()xfxxa．若(1)4ef，则a=_________．【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：221xxxexaeexafxxaxa，则：12211111eaaefaa，据此可得：241aeea，整理可得：2210aa，解得：1a.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.6．【2018年新课标2卷文科】曲线2lnyx在点1,0处的切线方程为__________．【答案】22yx【解析】【分析】求导2()fxx，可得斜率(1)2kf，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由()2lnyfxx，得2()fxx，则曲线2lnyx在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2kf，则所求切线方程为02(1)yx，即22yx.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.