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专题04导数及其应用（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−ln𝑥+𝑥−𝑎．(1)若𝑓(𝑥)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若𝑓(𝑥)有两个零点𝑥1,𝑥2，则环𝑥1𝑥21．2．【2022年全国乙卷】已知函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)+𝑎𝑥e−𝑥(1)当𝑎=1时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,𝑓(0))处的切线方程；(2)若𝑓(𝑥)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．3．【2022年新高考1卷】已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥和𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−ln𝑥有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线𝑦=𝑏，其与两条曲线𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．【2022年新高考2卷】已知函数𝑓(𝑥)=𝑥e𝑎𝑥−e𝑥．(1)当𝑎=1时，讨论𝑓(𝑥)的单调性；(2)当𝑥0时，𝑓(𝑥)−1，求a的取值范围；(3)设𝑛∈𝑁∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√𝑛2+𝑛ln(𝑛+1)．5．【2021年甲卷理科】已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa．（1）当2a时，求fx的单调区间；（2）若曲线yfx与直线1y有且仅有两个交点，求a的取值范围．6．【2021年乙卷理科】设函数lnfxax，已知0x是函数yxfx的极值点．（1）求a；（2）设函数()()()xfxgxxfx．证明:1gx．7．【2021年新高考1卷】已知函数1lnfxxx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112eab.8．【2021年新高考2卷】已知函数2()(1)xfxxeaxb．（1）讨论()fx的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()fx只有一个零点①21,222eaba；②10,22aba．9．【2020年新课标1卷理科】已知函数2()exfxaxx.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.10．【2020年新课标2卷理科】已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8fx；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤34nn.11．【2020年新课标3卷理科】设函数3()fxxbxc，曲线()yfx在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()fx有一个绝对值不大于1的零点，证明：()fx所有零点的绝对值都不大于1．12．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数1()elnlnxfxaxa．（1）当ae时，求曲线yfx在点1,1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式1fx恒成立，求a的取值范围．13．【2019年新课标1卷理科】已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．14．【2019年新课标2卷理科】已知函数11lnxfxxx.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线exy的切线.15．【2019年新课标3卷理科】已知函数32()2fxxaxb.（1）讨论()fx的单调性；（2）是否存在,ab，使得()fx在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出,ab的所有值；若不存在，说明理由.16．【2018年新课标1卷理科】已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx．17．【2018年新课标2卷理科】已知函数2xexfxa．（1）若1a，证明：当0x时，1fx；（2）若fx在只有一个零点，求a的值.18．【2018年新课标3卷理科】已知函数22ln12fxxaxxx．（1）若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；（2）若0x是fx的极大值点，求a．