专题05 立体几何（选填题）（文科专用）（教师版）

专题05立体几何（选填题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．20【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积𝑉=2+42×2×2=12.故选：B.2．【2022年全国甲卷】在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知𝐵1𝐷与平面𝐴𝐵𝐶𝐷和平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成的角均为30°，则（）A．𝐴𝐵=2𝐴𝐷B．AB与平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷所成的角为30°C．𝐴𝐶=𝐶𝐵1D．𝐵1𝐷与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成的角为45°【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设𝐴𝐵=𝑎,𝐴𝐷=𝑏,𝐴𝐴1=𝑐，依题以及长方体的结构特征可知，𝐵1𝐷与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成角为∠𝐵1𝐷𝐵，𝐵1𝐷与平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成角为∠𝐷𝐵1𝐴，所以sin30∘=𝑐𝐵1𝐷=𝑏𝐵1𝐷，即𝑏=𝑐，𝐵1𝐷=2𝑐=√𝑎2+𝑏2+𝑐2，解得𝑎=√2𝑐．对于A，𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐷=𝑏，𝐴𝐵=√2𝐴𝐷，A错误；对于B，过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐵1于𝐸，易知𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷，所以𝐴𝐵与平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷所成角为∠𝐵𝐴𝐸，因为tan∠𝐵𝐴𝐸=𝑐𝑎=√22，所以∠𝐵𝐴𝐸≠30∘，B错误；对于C，𝐴𝐶=√𝑎2+𝑏2=√3𝑐，𝐶𝐵1=√𝑏2+𝑐2=√2𝑐，𝐴𝐶≠𝐶𝐵1，C错误；对于D，𝐵1𝐷与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成角为∠𝐷𝐵1𝐶，sin∠𝐷𝐵1𝐶=𝐶𝐷𝐵1𝐷=𝑎2𝑐=√22，而0∠𝐷𝐵1𝐶90∘，所以∠𝐷𝐵1𝐶=45∘．D正确．故选：D．3．【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为𝑆甲和𝑆乙，体积分别为𝑉甲和𝑉乙．若𝑆甲𝑆乙=2，则𝑉甲𝑉乙=（）A．√5B．2√2C．√10D．5√104【答案】C【解析】【分析】设母线长为𝑙，甲圆锥底面半径为𝑟1，乙圆锥底面圆半径为𝑟2，根据圆锥的侧面积公式可得𝑟1=2𝑟2，再结合圆心角之和可将𝑟1,𝑟2分别用𝑙表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为𝑙，甲圆锥底面半径为𝑟1，乙圆锥底面圆半径为𝑟2，则𝑆甲𝑆乙=𝜋𝑟1𝑙𝜋𝑟2𝑙=𝑟1𝑟2=2，所以𝑟1=2𝑟2，又2𝜋𝑟1𝑙+2𝜋𝑟2𝑙=2𝜋，则𝑟1+𝑟2𝑙=1，所以𝑟1=23𝑙,𝑟2=13𝑙，所以甲圆锥的高ℎ1=√𝑙2−49𝑙2=√53𝑙，乙圆锥的高ℎ2=√𝑙2−19𝑙2=2√23𝑙，所以𝑉甲𝑉乙=13𝜋𝑟12ℎ113𝜋𝑟22ℎ2=49𝑙2×√53𝑙19𝑙2×2√23𝑙=√10.故选：C.4．【2022年全国乙卷】在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别为𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点，则（）A．平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1B．平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐴1𝐵𝐷C．平面𝐵1𝐸𝐹//平面𝐴1𝐴𝐶D．平面𝐵1𝐸𝐹//平面𝐴1𝐶1𝐷【答案】A【解析】【分析】证明𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1，即可判断A；如图，以点𝐷为原点，建立空间直角坐标系，设𝐴𝐵=2，分别求出平面𝐵1𝐸𝐹，𝐴1𝐵𝐷，𝐴1𝐶1𝐷的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷且𝐷𝐷1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，又𝐸𝐹⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐸𝐹⊥𝐷𝐷1，因为𝐸,𝐹分别为𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点，所以𝐸𝐹∥𝐴𝐶，所以𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，又𝐵𝐷∩𝐷𝐷1=𝐷，所以𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1，又𝐸𝐹⊂平面𝐵1𝐸𝐹，所以平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1，故A正确；如图，以点𝐷为原点，建立空间直角坐标系，设𝐴𝐵=2，则𝐵1(2,2,2),𝐸(2,1,0),𝐹(1,2,0),𝐵(2,2,0),𝐴1(2,0,2),𝐴(2,0,0),𝐶(0,2,0)，𝐶1(0,2,2)，则𝐸𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,1,0),𝐸𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,1,2)，𝐷𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,2,0),𝐷𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,0,2)，𝐴𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,0,2),𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,2,0),𝐴1𝐶1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,2,0),设平面𝐵1𝐸𝐹的法向量为𝑚⃑⃑=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则有{𝑚⃑⃑⋅𝐸𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=−𝑥1+𝑦1=0𝑚⃑⃑⋅𝐸𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑦1+2𝑧1=0，可取𝑚⃑⃑=(2,2,−1)，同理可得平面𝐴1𝐵𝐷的法向量为𝑛1⃑⃑⃑⃑=(1,−1,−1)，平面𝐴1𝐴𝐶的法向量为𝑛2⃑⃑⃑⃑=(1,1,0)，平面𝐴1𝐶1𝐷的法向量为𝑛3⃑⃑⃑⃑=(1,1,−1)，则𝑚⃑⃑⋅𝑛1⃑⃑⃑⃑=2−2+1=1≠0，所以平面𝐵1𝐸𝐹与平面𝐴1𝐵𝐷不垂直，故B错误；因为𝑚⃑⃑与𝑛2⃑⃑⃑⃑不平行，所以平面𝐵1𝐸𝐹与平面𝐴1𝐴𝐶不平行，故C错误；因为𝑚⃑⃑与𝑛3⃑⃑⃑⃑不平行，所以平面𝐵1𝐸𝐹与平面𝐴1𝐶1𝐷不平行，故D错误，故选：A.5．【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．√33D．√22【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2𝑟2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为𝛼，则𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=12⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐷⋅sin𝛼≤12⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐷≤12⋅2𝑟⋅2𝑟=2𝑟2（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2𝑟2又𝑟2+ℎ2=1则𝑉𝑂−𝐴𝐵𝐶𝐷=13⋅2𝑟2⋅ℎ=√23√𝑟2⋅𝑟2⋅2ℎ2≤√23√(𝑟2+𝑟2+2ℎ23)3=4√327当且仅当𝑟2=2ℎ2即ℎ=√33时等号成立，故选：C6．【2021年甲卷文科】在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7．【2021年乙卷文科】在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π6【答案】D【解析】【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCBD，1111BBBDB，所以1PC平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB，1111sin2PCPBCBC，所以16PBC.故选：D8．【2018年新课标1卷文科】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．122πB．12πC．82πD．10π【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为22(2)222212S，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.9．【2018年新课标1卷文科】在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，1AC与平面11BBCC所成的角为30，则该长方体的体积为A．8B．62C．82D．83【答案】C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCDABCD，利用题中条件，得到130ACB，根据2AB，求得123BC，可以确定122CC，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCDABCD中，连接1BC，根据线面角的定义可知130ACB，因为2AB，所以123BC，从而求得122CC，所以该长方体的体积为222282V，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.10．【2018年新课标2卷文科】在正方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．22B．32C．52D．72【答案】C【解析】【分析】利用正方体1111ABCDABCD中，//CDAB，将问题转化为求共面直线AB与AE所成角的正切值，在ABE中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCDABCD中，//CDAB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设正方体边长为2a，则由E为棱1CC的中点，可得CEa，所以5BEa，则55tan22BEaEABABa.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.11．【2021年甲卷文科】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________.【答案】39【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303Vh∴52h∴2222513622lhr∴136392Srl侧.故答案为：39.12．【2021年乙卷文科】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCDABCD中，12,1ABBCBB，,EF分别为棱11,BC