专题06 立体几何（解答题）（文科专用）（教师版）

专题06立体几何（解答题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为8（单位：cm）的正方形，△𝐸𝐴𝐵,△𝐹𝐵𝐶,△𝐺𝐶𝐷,△𝐻𝐷𝐴均为正三角形，且它们所在的平面都与平面𝐴𝐵𝐶𝐷垂直．(1)证明：𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐶𝐷；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】(1)证明见解析；(2)6403√3．【解析】【分析】（1）分别取𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点𝑀,𝑁，连接𝑀𝑁，由平面知识可知𝐸𝑀⊥𝐴𝐵,𝐹𝑁⊥𝐵𝐶，𝐸𝑀=𝐹𝑁，依题从而可证𝐸𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹𝑁⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，根据线面垂直的性质定理可知𝐸𝑀//𝐹𝑁，即可知四边形𝐸𝑀𝑁𝐹为平行四边形，于是𝐸𝐹//𝑀𝑁，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取𝐴𝐷,𝐷𝐶中点𝐾,𝐿，由（1）知，该几何体的体积等于长方体𝐾𝑀𝑁𝐿−𝐸𝐹𝐺𝐻的体积加上四棱锥𝐵−𝑀𝑁𝐹𝐸体积的4倍，即可解出．(1)如图所示：，分别取𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点𝑀,𝑁，连接𝑀𝑁，因为△𝐸𝐴𝐵,△𝐹𝐵𝐶为全等的正三角形，所以𝐸𝑀⊥𝐴𝐵,𝐹𝑁⊥𝐵𝐶，𝐸𝑀=𝐹𝑁，又平面𝐸𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝐸𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵，𝐸𝑀⊂平面𝐸𝐴𝐵，所以𝐸𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，同理可得𝐹𝑁⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，根据线面垂直的性质定理可知𝐸𝑀//𝐹𝑁，而𝐸𝑀=𝐹𝑁，所以四边形𝐸𝑀𝑁𝐹为平行四边形，所以𝐸𝐹//𝑀𝑁，又𝐸𝐹⊄平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀𝑁⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐶𝐷．(2)如图所示：，分别取𝐴𝐷,𝐷𝐶中点𝐾,𝐿，由（1）知，𝐸𝐹//𝑀𝑁且𝐸𝐹=𝑀𝑁，同理有，𝐻𝐸//𝐾𝑀,𝐻𝐸=𝐾𝑀，𝐻𝐺//𝐾𝐿,𝐻𝐺=𝐾𝐿，𝐺𝐹//𝐿𝑁,𝐺𝐹=𝐿𝑁，由平面知识可知，𝐵𝐷⊥𝑀𝑁，𝑀𝑁⊥𝑀𝐾，𝐾𝑀=𝑀𝑁=𝑁𝐿=𝐿𝐾，所以该几何体的体积等于长方体𝐾𝑀𝑁𝐿−𝐸𝐹𝐺𝐻的体积加上四棱锥𝐵−𝑀𝑁𝐹𝐸体积的4倍．因为𝑀𝑁=𝑁𝐿=𝐿𝐾=𝐾𝑀=4√2，𝐸𝑀=8sin60∘=4√3，点𝐵到平面𝑀𝑁𝐹𝐸的距离即为点𝐵到直线𝑀𝑁的距离𝑑，𝑑=2√2，所以该几何体的体积𝑉=(4√2)2×4√3+4×13×4√2×4√3×2√2=128√3+2563√3=6403√3．2．【2022年全国乙卷】如图，四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷,𝐴𝐷=𝐶𝐷,∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐶，E为AC的中点．(1)证明：平面𝐵𝐸𝐷⊥平面ACD；(2)设𝐴𝐵=𝐵𝐷=2,∠𝐴𝐶𝐵=60°，点F在BD上，当△𝐴𝐹𝐶的面积最小时，求三棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐶的体积．【答案】(1)证明详见解析(2)√34【解析】【分析】（1）通过证明𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐸𝐷来证得平面𝐵𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷.（2）首先判断出三角形𝐴𝐹𝐶的面积最小时𝐹点的位置，然后求得𝐹到平面𝐴𝐵𝐶的距离，从而求得三棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐶的体积.(1)由于𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐸是𝐴𝐶的中点，所以𝐴𝐶⊥𝐷𝐸.由于{𝐴𝐷=𝐶𝐷𝐵𝐷=𝐵𝐷∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵，所以△𝐴𝐷𝐵≅△𝐶𝐷𝐵，所以𝐴𝐵=𝐶𝐵，故𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，由于𝐷𝐸∩𝐵𝐷=𝐷，𝐷𝐸,𝐵𝐷⊂平面𝐵𝐸𝐷，所以𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐸𝐷，由于𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐷，所以平面𝐵𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷.(2)依题意𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=60°，三角形𝐴𝐵𝐶是等边三角形，所以𝐴𝐶=2,𝐴𝐸=𝐶𝐸=1,𝐵𝐸=√3，由于𝐴𝐷=𝐶𝐷,𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，所以三角形𝐴𝐶𝐷是等腰直角三角形，所以𝐷𝐸=1.𝐷𝐸2+𝐵𝐸2=𝐵𝐷2，所以𝐷𝐸⊥𝐵𝐸，由于𝐴𝐶∩𝐵𝐸=𝐸，𝐴𝐶,𝐵𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶.由于△𝐴𝐷𝐵≅△𝐶𝐷𝐵，所以∠𝐹𝐵𝐴=∠𝐹𝐵𝐶，由于{𝐵𝐹=𝐵𝐹∠𝐹𝐵𝐴=∠𝐹𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐶𝐵，所以△𝐹𝐵𝐴≅△𝐹𝐵𝐶，所以𝐴𝐹=𝐶𝐹，所以𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，由于𝑆△𝐴𝐹𝐶=12⋅𝐴𝐶⋅𝐸𝐹，所以当𝐸𝐹最短时，三角形𝐴𝐹𝐶的面积最小值.过𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，垂足为𝐹，在Rt△𝐵𝐸𝐷中，12⋅𝐵𝐸⋅𝐷𝐸=12⋅𝐵𝐷⋅𝐸𝐹，解得𝐸𝐹=√32，所以𝐷𝐹=√12−(√32)2=12,𝐵𝐹=2−𝐷𝐹=32，所以𝐵𝐹𝐵𝐷=34.过𝐹作𝐹𝐻⊥𝐵𝐸，垂足为𝐻，则𝐹𝐻//𝐷𝐸，所以𝐹𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶，且𝐹𝐻𝐷𝐸=𝐵𝐹𝐵𝐷=34，所以𝐹𝐻=34,所以𝑉𝐹−𝐴𝐵𝐶=13⋅𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐹𝐻=13×12×2×√3×34=√34.3．【2021年甲卷文科】已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE.【答案】(1)13；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明ABC为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】（1）由于11BFAB，11//ABAB，所以ABBF，又AB⊥BB1，1BBBFB，故AB平面11BCCB，则ABBC，ABC为等腰直角三角形，111221222BCEABCSS△△，11111333FEBCBCEVSCF△.（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCMABCM，如图所示，取棱,AMBC的中点,HG，连结11,,AHHGGB，正方形11BCCB中，,GF为中点，则1BFBG，又111111,BFABABBGB，故BF平面11ABGH，而DE平面11ABGH，从而BFDE.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.4．【2021年乙卷文科】如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）由PD底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定理可得AM平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM平面PBD；（2）由（1）可知，AMBD，由平面知识可知，~DABABM，由相似比可求出AD，再根据四棱锥PABCD的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，又PBAM，PBPDP，所以AM平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知AMBD．于是∽ABDBMA，故ADABABBM．因为1,,12BMBCADBCAB，所以2112BC，即2BC．故四棱锥PABCD的体积1233VABBCPD．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知AMDB,所以1AMBDkk．建立如图所示的平面直角坐标系，设2(0)BCaa．因为1DC，所以(0,0)A，(1,0)B，(0,2)Da，()1,Ma．从而2020(2)211001AMBDaakkaaa．所以22a，即2DA．下同方法一.[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设||DAt，所以(0,0,0)D，(0,1,0)C，(0,0,1)P，(,0,0)At，(,1,0)Bt．所以,1,02tM，(,1,1)PBt，,1,02tAM．所以2110(1)1022ttPBAMt．所以2t，即||2DA．下同方法一.[方法四]：空间向量法由PBAM，得0PBAM．所以()0PDDAABAM．即0PDAMDAAMABAM．又PD底面ABCD，AM在平面ABCD内，因此PDAM，所以0PDAM．所以0DAAMABAM，由于四边形ABCD是矩形，根据数量积的几何意义，得221||||02DAAB，即21||102BC．所以||2BC，即2BC．下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.5．【2020年新课标1卷文科】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）68.【解析】【分析】（1）根据已知可得PAPBPC，进而有PAC△≌PBC，可得90APCBPC，即PBPC，从而证得PC平面PAB，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在RtAPO中，求出PO，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OAOBOC，DQ为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，,OAOBOCPAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PAC△≌PBC，90APCBPC，即,PBPCPAPC，,PAPBPPC平面,PABPC平面PAC，平面PAB平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为3,3rlrl，2222ODlr，解得1,3rl，2sin603ACr，在等腰直角三角形APC中，2622APAC，在RtPAO中，2262142POAPOA，三棱锥PABC的体积为11236333248PABCABCVPOS△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.6．【2020年新课标2卷文科】如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1