搜索
专题06立体几何（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐷∥𝐴𝐵,𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐶𝐵=1,𝐴𝐵=2,𝐷𝑃=√3．(1)证明：𝐵𝐷⊥𝑃𝐴；(2)求PD与平面𝑃𝐴𝐵所成的角的正弦值．2．【2022年全国乙卷】如图，四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷,𝐴𝐷=𝐶𝐷,∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐶，E为𝐴𝐶的中点．(1)证明：平面𝐵𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷；(2)设𝐴𝐵=𝐵𝐷=2,∠𝐴𝐶𝐵=60°，点F在𝐵𝐷上，当△𝐴𝐹𝐶的面积最小时，求𝐶𝐹与平面𝐴𝐵𝐷所成的角的正弦值．3．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为4，△𝐴1𝐵𝐶的面积为2√2．(1)求A到平面𝐴1𝐵𝐶的距离；(2)设D为𝐴1𝐶的中点，𝐴𝐴1=𝐴𝐵，平面𝐴1𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，求二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的正弦值．4．【2022年新高考2卷】如图，𝑃𝑂是三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的高，𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，E是𝑃𝐵的中点．(1)证明：𝑂𝐸//平面𝑃𝐴𝐶；(2)若∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐵𝑂=30°，𝑃𝑂=3，𝑃𝐴=5，求二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐵的正弦值．5．【2021年甲卷理科】已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?6．【2021年乙卷理科】如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值．7．【2021年新高考1卷】如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.8．【2021年新高考2卷】在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC．（1）证明：平面QAD平面ABCD；（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值．9．【2020年新课标1卷理科】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO．（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值．10．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.11．【2020年新课标3卷理科】如图，在长方体1111ABCDABCD中，点,EF分别在棱11,DDBB上，且12DEED，12BFFB．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值．12．【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．13．【2020年新高考2卷（海南卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．14．【2019年新课标1卷理科】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．15．【2019年新课标2卷理科】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.16．【2019年新课标3卷理科】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.17．【2018年新课标1卷理科】如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.18．【2018年新课标2卷理科】如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．19．【2018年新课标3卷理科】如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．