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专题08平面解析几何（解答题）1．【2022年全国甲卷】设抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为F，点𝐷(𝑝,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|𝑀𝐹|=3．(1)求C的方程；(2)设直线𝑀𝐷,𝑁𝐷与C的另一个交点分别为A，B，记直线𝑀𝑁,𝐴𝐵的倾斜角分别为𝛼,𝛽．当𝛼−𝛽取得最大值时，求直线AB的方程．2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过𝐴(0,−2),𝐵(32,−1)两点．(1)求E的方程；(2)设过点𝑃(1,−2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足𝑀𝑇⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑇𝐻⃑⃑⃑⃑⃑．证明：直线HN过定点．3．【2022年新高考1卷】已知点𝐴(2,1)在双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2−1=1(𝑎1)上，直线l交C于P，Q两点，直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，求△𝑃𝐴𝑄的面积．4．【2022年新高考2卷】已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的右焦点为𝐹(2,0)，渐近线方程为𝑦=±√3𝑥．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)在C上，且𝑥1𝑥20,𝑦10．过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在𝐴𝐵上；②𝑃𝑄∥𝐴𝐵；③|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．【2021年甲卷文科】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：1x交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点2,0M，且M与l相切．（1）求C，M的方程；（2）设123,,AAA是C上的三个点，直线12AA，13AA均与M相切．判断直线23AA与M的位置关系，并说明理由．6．【2021年乙卷文科】已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值.7．【2021年乙卷理科】已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，且F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，,PAPB是C的两条切线，,AB是切点，求PAB△面积的最大值．8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy中，已知点117,0F、21217,02FMFMF，，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab，右焦点为(2,0)F，且离心率为63．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线222(0)xybx相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是||3MN．10．【2020年新课标1卷理科】已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C1：22221xyab(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C1：22221xyab(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ，BPBQ，求APQ的面积．14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．15．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C：22221(0)xyabab过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.16．【2019年新课标1卷理科】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB，求|AB|．17．【2019年新课标1卷文科】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．18．【2019年新课标2卷理科】已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值.19．【2019年新课标2卷文科】已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若2POFV为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得12PFPF，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.20．【2019年新课标3卷理科】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.21．【2018年新课标1卷理科】设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.22．【2018年新课标1卷文科】设抛物线22Cyx：，点20A，，20B，，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN．23．【2018年新课标2卷理科】设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．24．【2018年新课标3卷理科】已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm，．（1）证明：12k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且0FPFAFB．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．25．【2018年新课标3卷文科】已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点．线段AB的中点为(1,)(0)Mmm．（1）证明：12k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB．证明：2FPFAFB．