专题09 三角函数（教师版）

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+π3)(𝜔0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则𝜔的最小值是（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线𝐶的解析式，再结合对称性得𝜔𝜋2+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈Z，即可求出𝜔的最小值.【详解】由题意知：曲线𝐶为𝑦=sin[𝜔(𝑥+𝜋2)+𝜋3]=sin(𝜔𝑥+𝜔𝜋2+𝜋3)，又𝐶关于𝑦轴对称，则𝜔𝜋2+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈Z，解得𝜔=13+2𝑘,𝑘∈Z，又𝜔0，故当𝑘=0时，𝜔的最小值为13.故选：C.2．【2022年全国甲卷】设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则𝜔的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C【解析】【分析】由𝑥的取值范围得到𝜔𝑥+𝜋3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得𝜔0，因为𝑥∈(0,𝜋)，所以𝜔𝑥+𝜋3∈(𝜋3,𝜔𝜋+𝜋3)，要使函数在区间(0,𝜋)恰有三个极值点、两个零点，又𝑦=sin𝑥，𝑥∈(𝜋3,3𝜋)的图象如下所示：则5𝜋2𝜔𝜋+𝜋3≤3𝜋，解得136𝜔≤83，即𝜔∈(136,83]．故选：C．3．【2022年全国乙卷】函数𝑓(𝑥)=cos𝑥+(𝑥+1)sin𝑥+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（）A．−π2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2【答案】D【解析】【分析】利用导数求得𝑓(𝑥)的单调区间，从而判断出𝑓(𝑥)在区间[0,2π]上的最小值和最大值.【详解】𝑓′(𝑥)=−sin𝑥+sin𝑥+(𝑥+1)cos𝑥=(𝑥+1)cos𝑥，所以𝑓(𝑥)在区间(0,π2)和(3π2,2π)上𝑓′(𝑥)0，即𝑓(𝑥)单调递增；在区间(π2,3π2)上𝑓′(𝑥)0，即𝑓(𝑥)单调递减，又𝑓(0)=𝑓(2π)=2，𝑓(π2)=π2+2，𝑓(3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2，所以𝑓(𝑥)在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.故选：D4．【2022年新高考1卷】记函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋4)+𝑏(𝜔0)的最小正周期为T．若2𝜋3𝑇𝜋，且𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于点(3𝜋2,2)中心对称，则𝑓(𝜋2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2𝜋3𝑇𝜋，得2𝜋32𝜋𝜔𝜋，解得2𝜔3，又因为函数图象关于点(3𝜋2,2)对称，所以3𝜋2𝜔+𝜋4=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，且𝑏=2，所以𝜔=−16+23𝑘,𝑘∈𝑍，所以𝜔=52，𝑓(𝑥)=sin(52𝑥+𝜋4)+2，所以𝑓(𝜋2)=sin(54𝜋+𝜋4)+2=1.故选：A5．【2022年新高考2卷】若sin(𝛼+𝛽)+cos(𝛼+𝛽)=2√2cos(𝛼+𝜋4)sin𝛽，则（）A．tan(𝛼−𝛽)=1B．tan(𝛼+𝛽)=1C．tan(𝛼−𝛽)=−1D．tan(𝛼+𝛽)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽=2(cos𝛼−sin𝛼)sin𝛽,即：sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽=0，即：sin(𝛼−𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=0,所以tan(𝛼−𝛽)=−1,故选：C6．【2021年甲卷文科】若cos0,,tan222sin，则tan（）A．1515B．55C．53D．153【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin，再结合已知可求得1sin4，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22sin2sin22sincoscostan2cos212sin2sin，0,2，cos0，22sin112sin2sin，解得1sin4，215cos1sin4，sin15tancos15.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.7．【2021年乙卷文科】函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22()sincos2sinco2sin3s3323234xxxxfxx，所以fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．8．【2021年乙卷文科】22π5πcoscos1212（）A．12B．33C．22D．32【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin12121212，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscoscoscoscossin12121221212123cos26.故选：D.9．【2021年乙卷理科】把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（）A．7sin212xB．sin212xC．7sin212xD．sin212x【答案】B【解析】【分析】解法一：从函数()yfx的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx，即得2sin34fxx，再利用换元思想求得()yfx的解析表达式；解法二：从函数sin4yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yfx的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx的图象，根据已知得到了函数sin4yx的图象，所以2sin34fxx，令23tx,则,234212ttxx,所以sin212tft,所以sin212xfx；解法二：由已知的函数sin4yx逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy的图象，即为yfx的图象，所以sin212xfx.故选：B.10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22【答案】A【解析】【分析】解不等式22262kxkkZ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx的单调递增区间为22,22kkkZ，对于函数7sin6fxx，由22262kxkkZ，解得22233kxkkZ，取0k，可得函数fx的一个单调递增区间为2,33，则20,,233，2,,233，A选项满足条件，B不满足条件；取1k，可得函数fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233且358,,233，358,2,233，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成sinyAωxφ形式，再求sinyAωxφ的单调区间，只需把x看作一个整体代入sinyx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．11．【2021年新高考1卷】若tan2，则sin1sin2sincos（）A．65B．25C．25D．65【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos2222sinsincostantan422sincos1tan145．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．12．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos)Sr（单位：2km），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos)1cos44242%22rr.故选：C.13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cosπ()6fxx在[π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09，即可得到4cos096，结合4,09是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到4962，即可求得32，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数fx可得：4cos096又4,09是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得：