专题10 解三角形（教师版）

专题10解三角形1．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，𝐴𝐵⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在𝐴𝐵⌢上，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．“会圆术”给出𝐴𝐵⌢的弧长的近似值s的计算公式：𝑠=𝐴𝐵+𝐶𝐷2𝑂𝐴．当𝑂𝐴=2,∠𝐴𝑂𝐵=60°时，𝑠=（）A．11−3√32B．11−4√32C．9−3√32D．9−4√32【答案】B【解析】【分析】连接𝑂𝐶，分别求出𝐴𝐵,𝑂𝐶,𝐶𝐷，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接𝑂𝐶，因为𝐶是𝐴𝐵的中点，所以𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，又𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，所以𝑂,𝐶,𝐷三点共线，即𝑂𝐷=𝑂𝐴=𝑂𝐵=2，又∠𝐴𝑂𝐵=60°，所以𝐴𝐵=𝑂𝐴=𝑂𝐵=2，则𝑂𝐶=√3，故𝐶𝐷=2−√3，所以𝑠=𝐴𝐵+𝐶𝐷2𝑂𝐴=2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.2．【2021年甲卷文科】在ABC中，已知120B，19AC，2AB，则BC（）A．1B．2C．5D．3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,ABcACbBCa，结合余弦定理：2222cosbacacB可得：21942cos120aac，即：22150aa，解得：3a（5a舍去），故3BC.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3．【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB（）A．表高表距表目距的差表高B．表高表距表目距的差表高C．表高表距表目距的差表距D．表高表距-表目距的差表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，,DEEHFGCGABAHABAC，而DEFG，所以DEEHCGCGEHCGEHABAHACACAHCH，而CHCEEHCGEHEG，即CGEHEGEGDEABDEDECGEHCGEH＝+表高表距表高表目距的差．故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．4．【2020年新课标3卷理科】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（）A．19B．13C．12D．23【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据222cos2ABBCACBABBC，即可求得答案.【详解】在ABC中，2cos3C，4AC，3BC根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC2224322433AB可得29AB，即3AB由22299161cos22339ABBCACBABBC故1cos9B.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．【2019年新课标1卷文科】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－14，则bc=A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224abc，由余弦定理推论可得22222141313cos,,,464224242bcacccbAbcbcbc，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．6．【2018年新课标2卷理科】在ABC中，5cos25C,BC=1,AC=5，则AB=A．42B．30C．29D．25【答案】A【解析】【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为2253cos2cos12()1,255CC所以22232cos125215()32425cababCc，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.7．【2018年新课标3卷理科】ABC的内角ABC，，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc，则CA．π2B．π3C．π4D．π6【答案】C【解析】【详解】分析：利用面积公式12ABCSabsinC和余弦定理2222abcabcosC进行计算可得．详解：由题可知222124ABCabcSabsinC所以2222absinCabc由余弦定理2222abcabcosC所以sinCcosCC0,πC4故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8．【2022年全国甲卷】已知△𝐴𝐵𝐶中，点D在边BC上，∠𝐴𝐷𝐵=120°,𝐴𝐷=2,𝐶𝐷=2𝐵𝐷．当𝐴𝐶𝐴𝐵取得最小值时，𝐵𝐷=________．【答案】√3−1##−1+√3【解析】【分析】设𝐶𝐷=2𝐵𝐷=2𝑚0，利用余弦定理表示出𝐴𝐶2𝐴𝐵2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设𝐶𝐷=2𝐵𝐷=2𝑚0，则在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵2=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐵=𝑚2+4+2𝑚，在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2=𝐶𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐶𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐶=4𝑚2+4−4𝑚，所以𝐴𝐶2𝐴𝐵2=4𝑚2+4−4𝑚𝑚2+4+2𝑚=4(𝑚2+4+2𝑚)−12(1+𝑚)𝑚2+4+2𝑚=4−12(𝑚+1)+3𝑚+1≥4−122√(𝑚+1)⋅3𝑚+1=4−2√3，当且仅当𝑚+1=3𝑚+1即𝑚=√3−1时，等号成立，所以当𝐴𝐶𝐴𝐵取最小值时，𝑚=√3−1.故答案为：√3−1.9．【2021年乙卷文科】记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．【答案】22【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac，所以224,12acac，所以22212cos122482bacacB，解得22b（负值舍去）.故答案为：22.10．【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】14【解析】【分析】在ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可得出BF，然后在BCF△中利用余弦定理可求得cosFCB的值.【详解】ABAC，3AB，1AC，由勾股定理得222BCABAC，同理得6BD，6BFBD，在ACE中，1AC，3AEAD，30CAE，由余弦定理得22232cos301321312CEACAEACAE，1CFCE，在BCF△中，2BC，6BF，1CF，由余弦定理得2221461cos22124CFBCBFFCBCFBC.故答案为：14.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.11．【2019年新课标2卷理科】ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB，则ABC的面积为__________.【答案】63【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,ac的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2262cccc，即212c解得23,23cc（舍去）所以243ac，113sin432363.222ABCSacB【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．12．【2019年新课标2卷文科】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】34.【解析】【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得sinsinsincos0BAAB．(0,),(0,)AB，sin0,A得sincos0BB，即tan1B，3.4B故选D．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．13．【2018年新课标1卷文科】△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知sinsin4sinsinbCcBaBC，2228bca，则△ABC的面积为________．【答案】233.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC，化简求得1sin2A，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos8bcA，可以断定A为锐角，从而求得3cos2A，进一步求得833bc，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为sinsin4sinsinbCcBaBC，结合正弦定理可得sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC，可得1sin2A，因为2228bca，结合余弦定理2222abcbccosA，可得2cos8bcA，所以A为锐角，且3cos2A，从而求得833bc，所以ABC的面积为1183123sin22323SbcA，故答案是233.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosabcbcA；（2）222cos2bcaAbc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．【2022年全国乙卷】记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)．(1)若𝐴=2𝐵，求C；(2)证明：2𝑎2=𝑏2+𝑐2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sin𝐶=sin(𝐶−𝐴)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sin𝐶(sin𝐴cos𝐵−cos𝐴sin𝐵)=sin𝐵(sin𝐶cos𝐴−cos𝐶sin𝐴)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由𝐴=2𝐵，sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)可得，sin𝐶sin𝐵=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)，而0𝐵π2，所以sin𝐵∈(0,1)