专题12 数列（选填题）（教师版）

专题12数列（选填题）1．【2022年全国乙卷】已知等比数列{𝑎𝑛}的前3项和为168，𝑎2−𝑎5=42，则𝑎6=（）A．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】【分析】设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞,𝑞≠0，易得𝑞≠1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞,𝑞≠0，若𝑞=1，则𝑎2−𝑎5=0，与题意矛盾，所以𝑞≠1，则{𝑎1+𝑎2+𝑎3=𝑎1(1−𝑞3)1−𝑞=168𝑎2−𝑎5=𝑎1𝑞−𝑎1𝑞4=42，解得{𝑎1=96𝑞=12，所以𝑎6=𝑎1𝑞5=3.故选：D.2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{𝑏𝑛}：𝑏1=1+1𝛼1，𝑏2=1+1𝛼1+1𝛼2，𝑏3=1+1𝛼1+1𝛼2+1𝛼3，…，依此类推，其中𝛼𝑘∈𝑁∗(𝑘=1,2,⋯)．则（）A．𝑏1𝑏5B．𝑏3𝑏8C．𝑏6𝑏2D．𝑏4𝑏7【答案】D【解析】【分析】根据𝛼𝑘∈𝑁∗(𝑘=1,2,…)，再利用数列{𝑏𝑛}与𝛼𝑘的关系判断{𝑏𝑛}中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为𝛼𝑘∈𝑁∗(𝑘=1,2,⋯)，所以𝛼1𝛼1+1𝛼2，1𝛼11𝛼1+1𝛼2，得到𝑏1𝑏2，同理𝛼1+1𝛼2𝛼1+1𝛼2+1𝛼3，可得𝑏2𝑏3，𝑏1𝑏3又因为1𝛼21𝛼2+1𝛼3+1𝛼4,𝛼1+1𝛼2+1𝛼3𝛼1+1𝛼2+1𝛼3+1𝛼4，故𝑏2𝑏4，𝑏3𝑏4；以此类推，可得𝑏1𝑏3𝑏5𝑏7⋯，𝑏7𝑏8，故A错误；𝑏1𝑏7𝑏8，故B错误；1𝛼21𝛼2+1𝛼3+⋯1𝛼6，得𝑏2𝑏6，故C错误；𝛼1+1𝛼2+1𝛼3+1𝛼4𝛼1+1𝛼2+⋯1𝛼6+1𝛼7，得𝑏4𝑏7，故D正确.故选：D.3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，𝐷𝐷1,𝐶𝐶1,𝐵𝐵1,𝐴𝐴1是举，𝑂𝐷1,𝐷𝐶1,𝐶𝐵1,𝐵𝐴1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为𝐷𝐷1𝑂𝐷1=0.5,𝐶𝐶1𝐷𝐶1=𝑘1,𝐵𝐵1𝐶𝐵1=𝑘2,𝐴𝐴1𝐵𝐴1=𝑘3，若𝑘1,𝑘2,𝑘3是公差为0.1的等差数列，且直线𝑂𝐴的斜率为0.725，则𝑘3=（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【解析】【分析】设𝑂𝐷1=𝐷𝐶1=𝐶𝐵1=𝐵𝐴1=1，则可得关于𝑘3的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设𝑂𝐷1=𝐷𝐶1=𝐶𝐵1=𝐵𝐴1=1，则𝐶𝐶1=𝑘1,𝐵𝐵1=𝑘2,𝐴𝐴1=𝑘3，依题意，有𝑘3−0.2=𝑘1,𝑘3−0.1=𝑘2，且𝐷𝐷1+𝐶𝐶1+𝐵𝐵1+𝐴𝐴1𝑂𝐷1+𝐷𝐶1+𝐶𝐵1+𝐵𝐴1=0.725，所以0.5+3𝑘3−0.34=0.725，故𝑘3=0.9，故选：D4．【2021年甲卷文科】记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得2S，42SS，64SS成等比数列，从而求出641SS，进一步求出答案.【详解】∵nS为等比数列na的前n项和，∴2S，42SS，64SS成等比数列∴24S，42642SS∴641SS，∴641167SS.故选：A.5．【2021年甲卷理科】等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．6．【2020年新课标1卷文科】设{}na是等比数列，且1231aaa，234+2aaa，则678aaa（）A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q的值，再由5678123aaaqaaa可求得结果.【详解】设等比数列na的公比为q，则2123111aaaaqq，232234111112aaaaqaqaqaqqqq，因此，5675256781111132aaaaqaqaqaqqqq.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．7．【2020年新课标2卷理科】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，设nS为{}na的前n项和，由题意可得322729nnnnSSSS，解方程即可得到n，进一步得到3nS.【详解】设第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99nann，设nS为{}na的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,nnnnnSSSSS，因为下层比中层多729块，所以322729nnnnSSSS，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222nnnnnnnn即29729n，解得9n，所以32727(9927)34022nSS.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.8．【2020年新课标2卷理科】数列{}na中，12a，对任意,,mnmnmnNaaa，若155121022kkkaaa，则k（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】【分析】取1m，可得出数列na是等比数列，求得数列na的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由kN可求得k的值.【详解】在等式mnmnaaa中，令1m，可得112nnnaaaa，12nnaa，所以，数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222nnna，1011011105101210122122212211212kkkkkkaaaa，1522k，则15k，解得4k.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.9．【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12naaa满足{0,1}(1,2,)iai，且存在正整数m，使得(1,2,)imiaai成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)imiaai的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12naaa，11()(1,2,,1)miikiCkaakmm是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5Ckk的序列是（）A．11010B．11011C．10001D．11001【答案】C【解析】【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由imiaa知，序列ia的周期为m，由已知，5m，511(),1,2,3,45iikiCkaak对于选项A，511223344556111111(1)()(10000)55555iiiCaaaaaaaaaaaa52132435465711112(2)()(01010)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；对于选项B，51122334455611113(1)()(10011)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；对于选项D，51122334455611112(1)()(10001)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.10．【2020年新课标2卷文科】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则nnSa=（）A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q，由536412,24aaaa可得：421153111122124aqaqqaaqaq，所以1111(1)122,21112nnnnnnnaqaaqSq，因此1121222nnnnnSa.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.11．【2019年新课标1卷理科】记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa，，则A．25nanB． 310nanC．228nSnnD．2122nSnn【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，55a，44(72)1002S，排除B，对C，245540,25850105SaSS，排除C．对D，24554150,5250522SaSS，排除D，故选A．【详解】由题知，41514430245dSaaad，解得132ad，∴25nan，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．12．【2019年新课标3卷理科】已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa，则3aA．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于1,aq的方程组，求出1,aq，再利用通项公式即可求得3a的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为q，则2311114211115,34aaqaqaqaqaqa，解得11,2aq，2314aaq，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．13．【2018年新课标1卷理