专题13 数列（解答题）（学生版）

专题13数列（解答题）1．【2022年全国甲卷】记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和．已知2𝑆𝑛𝑛+𝑛=2𝑎𝑛+1．(1)证明：{𝑎𝑛}是等差数列；(2)若𝑎4,𝑎7,𝑎9成等比数列，求𝑆𝑛的最小值．2．【2022年新高考1卷】记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑎1=1,{𝑆𝑛𝑎𝑛}是公差为13的等差数列．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)证明：1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛2．3．【2022年新高考2卷】已知{𝑎𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛}是公比为2的等比数列，且𝑎2−𝑏2=𝑎3−𝑏3=𝑏4−𝑎4．(1)证明：𝑎1=𝑏1；(2)求集合{𝑘|𝑏𝑘=𝑎𝑚+𝑎1,1≤𝑚≤500}中元素个数．4．【2021年甲卷文科】记nS为数列na的前n项和，已知210,3naaa，且数列nS是等差数列，证明：na是等差数列.5．【2021年甲卷理科】已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列na是等差数列：②数列nS是等差数列；③213aa．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．6．【2021年乙卷文科】设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．7．【2021年乙卷理科】记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．8．【2021年新高考1卷】已知数列na满足11a，11,,2,.nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前20项和.9．【2021年新高考2卷】记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35244,aSaaS．（1）求数列na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的n的最小值．10．【2020年新课标1卷理科】设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求{}na的公比；（2）若11a，求数列{}nna的前n项和．11．【2020年新课标3卷理科】设数列{an}满足a1=3，134nnaan．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．12．【2020年新课标3卷文科】设等比数列{an}满足124aa，318aa．（1）求{an}的通项公式；（2）记nS为数列{log3an}的前n项和．若13mmmSSS，求m．13．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知公比大于1的等比数列{}na满足24320,8aaa．（1）求{}na的通项公式；（2）记mb为{}na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列{}mb的前100项和100S．14．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于1的等比数列{}na满足24320,8aaa．（1）求{}na的通项公式；（2）求112231(1)nnnaaaaaa.15．【2019年新课标1卷文科】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．16．【2019年新课标2卷理科】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，1434nnnaab，1434nnnbba.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.17．【2019年新课标2卷文科】已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列{}nb的前n项和.18．【2018年新课标1卷文科】已知数列na满足11a，121nnnana，设nnabn．（1）求123bbb，，；（2）判断数列nb是否为等比数列，并说明理由；（3）求na的通项公式．19．【2018年新课标2卷理科】记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．20．【2018年新课标3卷理科】等比数列na中，15314aaa，．（1）求na的通项公式；（2）记nS为na的前n项和．若63mS，求m．