专题15 概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）（教师版）

专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为𝑝1,𝑝2,𝑝3，且𝑝3𝑝2𝑝10．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率𝑝甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率𝑝乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率𝑝丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为𝑝甲则𝑝甲=2(1−𝑝2)𝑝1𝑝3+2𝑝2𝑝1(1−𝑝3)=2𝑝1(𝑝2+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为𝑝乙则𝑝乙=2(1−𝑝1)𝑝2𝑝3+2𝑝1𝑝2(1−𝑝3)=2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为𝑝丙则𝑝丙=2(1−𝑝1)𝑝3𝑝2+2𝑝1𝑝3(1−𝑝2)=2𝑝3(𝑝1+𝑝2)−4𝑝1𝑝2𝑝3则𝑝甲−𝑝乙=2𝑝1(𝑝2+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3−[2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3]=2(𝑝1−𝑝2)𝑝30𝑝乙−𝑝丙=2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3−[2𝑝3(𝑝1+𝑝2)−4𝑝1𝑝2𝑝3]=2(𝑝2−𝑝3)𝑝10即𝑝甲𝑝乙，𝑝乙𝑝丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，𝑝最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；𝑝与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率𝑃=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF，则C的离心率为（）A．72B．132C．7D．13【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260FPF,由余弦定理可得2224923cos60caaaa，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C种排法，若2个0不相邻，则有2510C种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．29【答案】B【解析】【分析】设从区间0,1,1,2中随机取出的数分别为,xy，则实验的所有结果构成区域为,01,12xyxy，设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为7,01,12,4Axyxyxy，分别求出,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间0,1,1,2中随机取出的数分别为,xy，则实验的所有结果构成区域为,01,12xyxy，其面积为111S．设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为7,01,12,4Axyxyxy，即图中的阴影部分，其面积为13323124432AS，所以2332ASPAS．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366PPPP甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36PPPPPP甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36PPPPPP乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,AB是否独立，先计算对应概率，再判断()()()PAPBPAB是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布210,N，下列结论中不正确的是（）A．越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，2为数据的方差，所以越小，数据在10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.1内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故D错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．yabxB．2yabxC．exyabD．lnyabx【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900，9001850，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,pppp，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．14230.1,0.4ppppB．14230.4,0.1ppppC．14230.2,0.3ppppD．14230.3,0.2pppp【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A选项，该组数据的平均数为140.1230.42.5Ax，方差为2222212.50.122.50.432.50.442.50.10.65As；对于B选项，该组数据的平均数为140.4230.12.5Bx，方差为2222212.50.422.50.132.50.142.50.41.85Bs；对于C选项，该组数据的平均数为140.2230.32.5Cx，方差为2222212.50.222.50.332.50.342.50.21.05Cs；对于D选项，该组数据的平均数为140.3230.22.5Dx，方差为2222212.50.322.50.232.50.242.50.31.45Ds.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，然后根据积事件的概率公式()PAB()()()PAPBPAB可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则()0.6PA，()0.82PB，0.96PAB，所以()PAB()()()PAPBPAB0.60.820.960.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计