专题18 系的扩充与复数的引入（教师版）

专题18系的扩充与复数的引入1．【2022年全国甲卷】若𝑧=1+i．则|i𝑧+3𝑧̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为𝑧=1+i，所以i𝑧+3𝑧̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i𝑧+3𝑧̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若𝑧=−1+√3i，则𝑧𝑧𝑧̅−1=（）A．−1+√3iB．−1−√3iC．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】𝑧̅=−1−√3i,𝑧𝑧̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.𝑧𝑧𝑧̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)𝑎+𝑏=2i，其中𝑎,𝑏为实数，则（）A．𝑎=1,𝑏=−1B．𝑎=1,𝑏=1C．𝑎=−1,𝑏=1D．𝑎=−1,𝑏=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为𝑎,𝑏∈R，(𝑎+𝑏)+2𝑎i=2i，所以𝑎+𝑏=0,2𝑎=2，解得：𝑎=1,𝑏=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】已知𝑧=1−2i，且𝑧+𝑎𝑧̅+𝑏=0，其中a，b为实数，则（）A．𝑎=1,𝑏=−2B．𝑎=−1,𝑏=2C．𝑎=1,𝑏=2D．𝑎=−1,𝑏=−2【答案】A【解析】【分析】先算出𝑧̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】𝑧̅=1+2i𝑧+𝑎𝑧̅+𝑏=1−2i+𝑎(1+2i)+𝑏=(1+𝑎+𝑏)+(2𝑎−2)i由𝑧+𝑎𝑧̅+𝑏=0,得{1+𝑎+𝑏=02𝑎−2=0,即{𝑎=1𝑏=−2故选:A5．【2022年新高考1卷】若i(1−𝑧)=1，则𝑧+𝑧̅=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求𝑧，从而可求𝑧+𝑧̅.【详解】由题设有1−𝑧=1i=ii2=−i，故𝑧=1+i，故𝑧+𝑧̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D6．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4iB．−2−4iC．6+2iD．6−2i【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i).【详解】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故选：D.7．【2021年甲卷文科】已知2(1)32izi，则z（）A．312iB．312iC．32iD．32i【答案】B【解析】【分析】由已知得322izi，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232izizi，32(32)23312222iiiiziiii.故选：B.8．【2021年乙卷文科】设i43iz，则z（）A．–34iB．34iC．34iD．34i【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：2434343341iiiiziii.故选：C.9．【2021年乙卷理科】设2346zzzzi，则z（）A．12iB．12iC．1iD．1i【答案】C【解析】【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设zabi，则zabi，则234646zzzzabii，所以，4466ab，解得1ab，因此，1zi.故选：C.10．【2021年新高考1卷】已知2iz，则izz（）A．62iB．42iC．62iD．42i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2zi，故2zi，故2222=4+42262zziiiiiii故选：C.11．【2021年新高考1卷】复数2i13i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i，从而可求对应的点的位置.【详解】2i13i2i55i1i13i10102，所以该复数对应的点为11,22，该点在第一象限，故选：A.12．【2020年新课标1卷理科】若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．2D．2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22zz的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：2212zii，则222212zzii.故2222zz.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.13．【2020年新课标1卷文科】若312iiz，则||=z（）A．0B．1C．2D．2【答案】C【解析】【分析】先根据21i将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】因为31+21+21ziiiii，所以22112z．故选：C．【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．14．【2020年新课标2卷文科】（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4iD．4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4iiiii.故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.15．【2020年新课标3卷理科】复数113i的虚部是（）A．310B．110C．110D．310【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010iziiii，所以复数113zi的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.16．【2020年新课标3卷文科】若11zii，则z=（）A．1–iB．1+iC．–iD．i【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2iiiziiii，所以zi=.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.17．【2020年新高考1卷（山东卷）】2i12i（）A．1B．−1C．iD．−i【答案】D【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】2(2)(12)512(12)(12)5iiiiiiii故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【2020年新高考2卷（海南卷）】(12)(2)ii=（）A．45iB．5iC．-5iD．23i【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】2(12)(2)2425iiiiii故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.19．【2019年新课标1卷理科】设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()xyB．22(1)1xyC．22(1)1yxD．22(+1)1yx【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),zxyizixyi22(1)1,zixy则22(1)1yx．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．20．【2019年新课标1卷文科】设3i12iz，则z=A．2B．3C．2D．1【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z，再求z．【详解】因为312izi，所以(3)(12)17(12)(12)55iiziii，所以2217()()255z，故选C．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．21．【2019年新课标2卷理科】设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,zi得32,zi则32,zi对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．22．【2019年新课标2卷文科】设z=i(2+i)，则z=A．1+2iB．–1+2iC．1–2iD．–1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念，写出z．【详解】2i(2i)2ii12iz，所以12zi，选D．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．23．【2019年新课标3卷理科】若(1i)2iz，则zA．1iB．1+iC．1iD．1+i【答案】D【解析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i1i1i1i1i1i)()z．故选D．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．24．【2018年新课标1卷理科】设1i2i1iz，则||zA．0B．12C．1D．2【答案】C【解析】【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：1i1i1i2i2i1i1i1izi2ii，则1z，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．【2018年新课标2卷理科】12i12iA．43i55B．43i55C．34i55D．34i55【答案】D【解析】【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255iiii选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.26．【2018年新课标2卷文科】i23iA．32iB．32iC．32iD．32i【答案】D【解析】【详解】分析：根据公式21i，可直接计算得(23)32iii详解：2i(23i)2i3i32i，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略21i中的负号导致出错.27．【2018年新课标3卷理科】(1)(2)iiA．3iB．3iC．3iD．3i【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算展开即可．【详解】解：21i2i2i2i3ii故选D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．28．【2020年新课标2卷理科】设复数1z，2z满足12||=||=2zz，123izz，则12||zz=__________.【答案】23【解析】【分析】方法一：令1,(,)zabi