专题19 计数原理（理科专用）（教师版）

专题19计数原理（理科专用）1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B2．【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.3．【2020年新课标1卷理科】25()()xxyxy的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【解析】【分析】求得5()xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r），即可求得2yxx与5()xy展开式的乘积为65rrrCxy或425rrrCxy形式，对r分别赋值为3，1即可求得33xy的系数，问题得解.【详解】5()xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r）所以2yxx的各项与5()xy展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxCxyCxy和22542155rrrrrrrTCxyxCyyyxx在615rrrrxTCxy中，令3r，可得：33345xTCxy，该项中33xy的系数为10，在42152rrrrTCxxyy中，令1r，可得：521332TCyxxy，该项中33xy的系数为5所以33xy的系数为10515故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.4．【2020年新课标2卷文科】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤ijk≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【答案】C【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4kjji，原位小三和弦满足4,3kjji从1i开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4kjji．∴1,5,8ijk；2,6,9ijk；3,7,10ijk；4,8,11ijk；5,9,12ijk．原位小三和弦满足：4,3kjji．∴1,4,8ijk；2,5,9ijk；3,6,10ijk；4,7,11ijk；5,8,12ijk．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．5．【2020年新高考1卷（山东卷）】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060CC种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.6．【2020年新高考2卷（海南卷）】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323CC种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A种安排方法所以，不同的安排方法共有326种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7．【2019年新课标3卷理科】（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为314424812CC，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．8．【2018年新课标3卷理科】522xx的展开式中4x的系数为A．10B．20C．40D．80【答案】C【解析】【详解】分析：写出103152rrrrTCx，然后可得结果详解：由题可得5210315522rrrrrrrTCxCxx令103r4,则r2所以22552240rrCC故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．9．【2022年新高考1卷】(1−𝑦𝑥)(𝑥+𝑦)8的展开式中𝑥2𝑦6的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】(1−𝑦𝑥)(𝑥+𝑦)8可化为(𝑥+𝑦)8−𝑦𝑥(𝑥+𝑦)8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为(1−𝑦𝑥)(𝑥+𝑦)8=(𝑥+𝑦)8−𝑦𝑥(𝑥+𝑦)8，所以(1−𝑦𝑥)(𝑥+𝑦)8的展开式中含𝑥2𝑦6的项为C86𝑥2𝑦6−𝑦𝑥𝐶85𝑥3𝑦5=−28𝑥2𝑦6，(1−𝑦𝑥)(𝑥+𝑦)8的展开式中𝑥2𝑦6的系数为-28故答案为：-2810．【2020年新课标2卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．【2020年新课标3卷理科】262()xx的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622xx二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622xx其二项式展开通项：62612rrrrCxxT1226(2)rrrrxCx1236(2)rrrCx当1230r，解得4r622xx的展开式中常数项是：664422161516240CC.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握nab的展开通项公式1CrnrrrnTab，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12．【2018年新课标1卷理科】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C种选法，从6名学生中任意选3人有3620C种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.