易错点04 导数及其应用-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点04导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为DxfxfDxDxfxfDxDxfxfDxDCxfDCxxfBAxfBAxxf)(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。1．对任意的12,1,3xx，当12xx时，1122ln03xaxxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．3,B．3,C．9,D．9,【答案】C【详解】依题意，11211222ln0ln(ln)0333xaaaxxxxxxx，令()ln3afxxx，(1,3]x，则对任意的12,(1,3]xx，当12xx时，12()()fxfx，即有函数()fx在(1,3]上单调递减，因此，(1,3]x，()1033afxaxx，而max(3)9x，则9a，所以实数a的取值范围是[9,).故选：C2．若函数22eexxfxxaxaaR有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．1,eB．1,1eC．2110,,1eeeD．210,ee【答案】D【详解】由22ee0xxxaxa得20eexxxxaa，令exxgx，由10exxgx，得1x＝，因此函数gx在,1上单调递增，在1,上单调递减，且00g，当0x时，0exxgx，则exxgx的图像如图所示：即函数gx的最大值为11eg，令1eexxtt，则20httata，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t必在10,e内，另一根21et或20t或2,0t上，当21et时，21eea，则另一根111et，不满足题意，当20t时，a＝0，则另一根10t，不满足题意，当2,0t时，由二次函数20httata的图像可知22000110eeaaaa，解得210eea，则实数a的取值范围是210,ee，故选：D.3．已知函数21()cos4fxxx，fx是函数()fx的导函数，则fx的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】21cos4fxxx，则1sin2fxxx，则函数fx为奇函数，排除BD；1024f，排除A；故选：C.4．已知函数2()3(ln)fxxax，若21,ex时，()fx在1x处取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．26,eB．(,0]C．260,eD．266,ee【答案】B【详解】根据题意得()(1)fxf当21,ex时恒成立则23(ln)xaxa，即213(ln)axx∴当21,ex时，1yax在23(ln)gxx图像的下方6lnxgxx，则10g，则0a故选：B．5．已知fx是定义在R上的函数fx的导数，且0fxfx，则下列不等式一定成立的是（）A．3e21ffB．32e1ffC．e12ffD．1e2ff【答案】C【详解】设xfxgxe，则exfxfxgx.因为0fxfx，所以0gx，则gx在R上单调递增.因为21，所以21gg，即221eeff，所以3e21ff，则A错误；因为2f，1f的大小不能确定，所以2f，3e1f的大小不能确定，则B错误；因为12，所以12gg，则212eeff，所以e12ff，则C正确；因为1f，2f的大小不能确定，所以1f，e2f不能确定，则D错误.故选:C1．若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【详解】设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx，由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），则直线l的方程为210xy，即1122yx.故选：D.2．设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A．abB．abC．2abaD．2aba【答案】D【详解】若ab，则3fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.fx有xa和xb两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.当0a时，由xb，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.当0a时，由xb时，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.故选：D3．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．4．已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxfxxaxx„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为A．0,1B．0,2C．0,eD．1,e【答案】C【详解】∵(0)0f，即0a，（1）当01a时，2222()22()22(2)0fxxaxaxaaaaaaa，当1a时，(1)10f，故当0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；若ln0xax在(1,)上恒成立，即lnxax在(1,)上恒成立，令()lnxgxx，则2ln1'()(ln)xgxx，当,xe函数单增，当0,xe函数单减，故mingxgee，所以ae．当0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；综上可知，a的取值范围是[0,]e，故选C．5．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]【答案】C【详解】∵球的体积为36，所以球的半径3R,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.1．曲线e22xyxx在0x处的切线方程是（）A．320xyB．220xyC．220xyD．320xy【答案】D【详解】e22xyxx，则1e2xyx，当0x时，2y，3y¢=，所以切线方程为23yx，即320xy．故选：D．2．已知3232fxaxx，且14f，则实数a的值为()A．193B．163C．133D．103【答案】D【详解】∵3232fxaxx，∴236fxaxx，14f，364a，103a．故选：D．3．设函数()fx在定义域内可导，()fx的图象如图所示，则其导函数()fx的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由()fx的图象可知，当,0x时函数单调递增，则0fx，故排除C、D；当0,x时()fx先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B；故选：A4．已知函数32183833fxxxx，lngxxx，若120,3xx，，12gxkfx恒成立，则实数k的取值范围是（）A．2ln2,B．3,C．5,3D．3,【答案】D【详解】26824fxxxxx，当0,2x时，0fx，fx单调递增，当2,3x时，0fx，fx单调递减，所以fx在0,3上的最大值是24f．111xgxxx，当0,1x时，0gx，gx单调递减，当1,3x时，0gx，gx单调递增，所以gx在0,3上的最小值是11g，若1x，20,3x，12gxkfx恒成立，则maxmingxkfx，即14k，所以3k，所以实数k的取值范围是3,．故选:D．5．已知函数2()3(ln)fxxax，若21,ex时，()fx在1x处取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．26,eB．(,0]C．260,eD．266,ee【答案】B【详解】根据题意得()(1)fxf当21,ex时恒成立则23(ln)xaxa，即213(ln)axx∴当21,ex时，1yax在23(ln)gxx图像的下方6lnxgxx，则10g，则0a故选：B．6．已知函数3ln2fxxx，则不等式