易错点07 数列-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点07数列易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.易错点2已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.易错点6：数列中的最值错误。数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。1．已知等比数列na的公比13q，则1324aaaa等于（）A．13B．13C．3D．3【答案】D【详解】解：因为等比数列na的公比13q，所以1313241313aaaaaaaqaqq．故选：D2．已知等差数列na的前n项和为nS，若10110S，11010S，则120S（）A．－10B．－20C．－120D．－110【答案】C【详解】111101101011121101001002aaSSaaa，111102aa，则11201111012012012012022aaaaS.故选：C3．已知等比数列na的前n项和为*3nnSanN，则实数a的值是（）A．3B．3C．1D．1【答案】C【详解】等比数列{}na的前n项和为*3nnSanN，当1n时，可得1113aaS，可得13aa，当2n时，113nnSa，则1113323nnnnnnaSSaa所以213123236,2318aa因为{}na为等比数列，所以2213aaa=，即66183a解得1a，经检验符合题意.故选：C．4．(多选)已知nS为数列{}na的前n项之和，且满足242nnnSaa，则下列说法正确的是（）A．{}na为等差数列B．若{}na为等差数列，则公差为2C．{}na可能为等比数列D．4S的最小值为0，最大值为20【答案】BCD【详解】当1n时，11112424Saaa，解得10a或12a，当2n时，211142nnnSaa，2211144422nnnnnnnaSSaaaa，整理得1112nnnnnnaaaaaa，当10nnaa时，若10a，可得0na，若12a，11nnaa，可得数列{}na为等比数列，121nna；当10nnaa时，可得12nnaa，数列{}na为等差数列，若10a，可得22nan，若12a，可得2nan；故A错误；B正确；C正确；当0na时，40S；当121nna时，42(2)2(2)0S；当22nan时，4064122S；当2nan时，4284202S；故D正确.故选：BCD.5．(多选)已知两个等差数列na和nb，其公差分别为1d和2d，其前n项和分别为nS和nT，则下列说法正确的是（）A．若nS为等差数列，则112daB．若nnST为等差数列，则120ddC．若nnab为等差数列，则120ddD．若*nbN，则nba也为等差数列，且公差为12dd【答案】ABD【详解】对于A，因为nS为等差数列，所以2132SSS，即1211232aaaaaa，所以111112233adaad，化简得21120da，所以112da，故A正确；对于B，因为nnST为等差数列，所以2211332STSTST，所以11121111122223333adbdabadbd，所以120dd，故B正确；对于C，因为nnab为等差数列，所以2211332ababab，所以11121111122()()(2)(2)adbdabadbd，化简得120dd，所以10d或20d，故C不正确；对于D，因为11(1)naand，且*nbN，所以11(1)nbnaabd112111abndd，所以1111211nbaabdndd，所以11111211112111nnbbaaabdnddabdndd12dd，所以nba也为等差数列，且公差为12dd，故D正确.故选：ABD1．设na是公差不为0的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】设等差数列na的公差为d，则0d，记x为不超过x的最大整数.若na为单调递增数列，则0d，若10a，则当2n时，10naa；若10a，则11naand，由110naand可得11and，取1011aNd，则当0nN时，0na，所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”；若存在正整数0N，当0nN时，0na，取Nk且0kN，0ka，假设0d，令0nkaankd可得kankd，且kakkd，当1kankd时，0na，与题设矛盾，假设不成立，则0d，即数列na是递增数列.所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”.所以，“na是递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选：C.2．已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A．14B．12C．6D．3【答案】D【详解】解：设等比数列na的公比为,0qq，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则31123425111168142aqaaaqaaaqaq，解得19612aq，所以5613aaq.故选：D.3．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【详解】解：因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；11237264111111…，得47bb，故D正确.故选：D.4．图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【详解】设11111ODDCCBBA，则111213,,CCkBBkAAk，依题意，有31320.2,0.1kkkk，且111111110.725DDCCBBAAODDCCBBA，所以30.530.30.7254k，故30.9k，故选：D5．已知数列na满足21111,3nnnaaaanN，则（）A．100521002aB．100510032aC．100731002aD．100710042a【答案】B【详解】∵11a，易得220,13a，依次类推可得0,1na由题意，1113nnnaaa，即1131133nnnnnaaaaa，∴1111133nnnaaa，即211113aa，321113aa，431113aa，…，1111,(2)3nnnaa，累加可得11113nna，即11(2),(2)3nnna，∴3,22nann，即100134a，100100100334a,又11111111,(2)333132nnnnaaann，∴211111132aa，321111133aa，431111134aa，…，111111,(3)3nnnaan，累加可得11111111,(3)3323nnnan，∴10011111111133334943932399326a，即100140a，∴100140a，即10051002a；综上：100510032a．故选：B．一、单选题1．设数列na满足11,1nnnaaa且112a，则2022a（）A．2B．13C．12D．3【答案】D【详解】由题意可得：121111231112aaa，2321132113aaa，34312111123aaa，14541111311213aaaa，据此可得数列na是周期为4的周期数列，则20225054223aaa.故选：D2．已知数列na满足*1211N,3nnnaaana，若na的前n项积的最大值为3，则2a的取值范围为（）A．[1,0)(0,1]B．[1,0)C．(0,1]D．,1(),)1(【答案】A【详解】数列na中，*Nn，121nnnaaa，则有121231nnnnnnaaaaaa，因此，*Nn，3nnaa，因数列na的前n项积的最大值为3，则当6,Nnkk，na的前n项积1213naaa，当61,Nnkk，na的前n项积12133naaaa，当62,Nnkk，na的前n项积1212233naaaaaa，解得21a，当63,Nnkk，na的前n项积1212313naaaaa