易错点10 圆锥曲线（解析版）

易错点10圆锥曲线易错点1：椭圆及其方程1、焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,abc之间的大小关系和等量关系：2、椭圆的几何性质3、直线与椭圆的位置关系（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.4、求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。易错点2：双曲线及其方程1、焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,abc之间的大小关系和等量关系：2、双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；3、直线与双曲线的位置关系（3）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（4）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.易错点3：抛物线及其方程1、主观认为抛物线的顶点就是原点;2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题必记结论直线AB过抛物线22(0)ypxp的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p24.（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥122xx＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.（3）1|AF|＋1|BF|为定值2p.（4）弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．（5）以AB为直径的圆与准线相切。（6）以AF为直径的圆与y轴相切．（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.1．抛物线22yx的焦点到准线的距离为（）A．4B．2C．1D．12【答案】C【详解】抛物线22yx的焦点到准线的距离为p，由抛物线标准方程22yx可得1p，故选：C.2．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一个焦点(c,0)F到C的一条渐近线的距离为27c，则C的离心率为（）A．11215B．335C．7515D．1615【答案】C【详解】因为C的一个焦点,0Fc到C的一条渐近线的距离为27c，不妨取渐近线方程为byxa，即0bxay，所以2227bcbcbccab，，两边平方得22449cb.又222bca，所以222449cca，化简得224945ca，所以7515ca.故选：C.3．已知12,FF是双曲线222:1(0)2xyCaa的左右焦点，直线l过1F与抛物线28xy的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则12FF（）A．26B．43C．4D．23【答案】C【详解】已知双曲线的左焦点1F,0c，双曲线的渐近线方程为2yxa，抛物线28xy的焦点0,2.因为直线l过1F,0c与抛物线的焦点0,2且与双曲线的一条渐近线平行，所以22ca，又222ca，解得：2,2ac，所以1224FFc.故选：C4．已知12,FF分别为椭圆22142xy的左右焦点，点P为椭圆上一点，以2F为圆心的圆与直线1PF恰好相切于点P，则12PFF是（）A．45B．30°C．60D．75【答案】A【详解】依题意2,2abc，设2PFt，由椭圆定义得14PFt，由于以2F为圆心的圆与直线1PF恰好相切于点P，所以2221212PFPFFF，即222(4)(22)8tt，整理得2440tt，得2t，得12PFPF，所以1245PFF．故选：A5．若椭圆222:1(2)4xyCaa上存在两点112212,,,AxyBxyxx到点,05aP的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．50,5B．5,15C．30,3D．3,13【答案】B【详解】记AB中点为,Qmn，则12122,2xxmyyn，由题意点,05aP在线段AB的中垂线上，将112212,,,AxyBxyxx坐标代入椭圆方程得22221122221,144xyxyaa两式相减可得22221212204xxyya，所以22121212222112124AByyyyyynkaxxxxxxm，得24ABmkan，所以AB的中垂线的方程为24anynxmm，令0y得2202445aamaxmaaa，由题意，,2maa，故245aaa，所以25,a所以24451155ceaa故选：B.1．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，且与椭圆221123xy有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A．22145xyB．221810xyC．22154xyD．22143xy【答案】A【详解】由椭圆的标准方程为221123xy，可得21239c，即3c，因为双曲线C的焦点与椭圆221123xy的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距3c，又因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，即52ba，又由222abc，即22529aa，解得24a，可得25b，所以双曲线C的方程为22145xy.故选：A．2．已知1F是双曲线22221xyab（0a，0b）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PFa，那么双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【详解】1F的坐标为,0c，设P点坐标为0,cy，易得220221cyab，解得20bya，因为直线1PF与x轴垂直，且1PFa，所以可得2baa，则22ab，即ab，所以22222caba，离心率为2e．故选：A.3．抛物线22(0)ypxp的焦点到直线1yx的距离为2，则p（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【详解】抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10xy的距离：012211pd，解得：2p(6p舍去).故选：B.4．设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【详解】设00,Pxy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立．故选：C．5．设双曲线C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【详解】5ca，5ca，根据双曲线的定义可得122PFPFa，12121||42PFFPFFSP△，即12||8PFPF，12FPFP，22212||2PFPFc，22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a，故选：A.一、单选题1．抛物线W：24yx的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线5x的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】由题意得：1,0F，准线方程为1x，设点P的横坐标为a，0a，由抛物线的定义可知：11PFaa则521aa，解得：1a或7（舍去），从而点P的横坐标为1故选：A2．双曲线2221yxa的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A．40xyB．40xyC．20xyD．20xy【答案】D【详解】解：由题意知，2a，所以双曲线的标准方程为2214yx，双曲线2214yx的渐近线方程为2204yx，即20xy.故选：D．3．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A．抛物线B．直线C．抛物线或直线D．以上结论均不正确【答案】C【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，可得该动点到定点和定直线距离相等，当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；故选C．4．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，离心率12e，则椭圆C的标准方程为（）A．2212xyB．2214xyC．22143xyD．2211612xy【答案】C【详解】由于2c=2,所以c=1,又因为12cea，故2a，2223bac，所以椭圆的标准方程为：22143xy.故选：C5．已知双曲线22221xyab的离心率为3，则双曲线22221xyba的离心率为（）．A．324B．98C．322D．3【答案】A【详解】解：因为双曲线22221xyab的离心率为3，所以2213ba，所以228ba，故双曲线22221xyba的离心率223214aeb．故选：A.6．已知抛物线2:4Dyx的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若PAAF，则PF（）A．2B．22C．23D．4【答案】D【详解】由题知1,0F，准线:1lx，设与x轴的交点为C，点P在D上，由抛物线的定义及已知得PAAFPF，则PAF△为等边三角形，解法1：因为,3APFAPx轴，所以直线PF斜率3k，所以:31PFyx，由243(1)yxyx解得3,23P，123,33P舍去，所以3142PpPFx.解法2：在RtACF中，2,60CFAFC，则4AF.解法3：过F作FBAP于点B，则B为AP的中点，因为2AB，则4AP.故选：D.7．设双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点为12,FF，过2F的直线与双曲线右支交,AB两点，设AB中点为P，若1||2ABFP，且145FPA，则该双曲线的离心率为（）A．3B．5C．312D．512【答案】A【详解】解：根据题意可知，过2F的直线斜率存在，AB中点为P，又12ABFP122APPF又145FPA在1FAP△中，由余弦定理2221111cos2PFPAAFFPAPAPF整理得：1APAF且190FAP，所以1APF△是等腰直角三角形.设1AFt，则1AFAPBPt，2ABt在1FAB中，由勾股定理得：22211BFABAF1=5BFt由双曲线定义可知：122AFAFa22AFta222PFAPAFa由双曲线定义可知：122BFBFa且222BFBPPFta522ttaa整理得：51ta在12FFP中，12=2FFc，22PFa，12=10+2PFta由余弦定理可得：2221212112cos2PFPFFFFPAPFPF