易错点11 平面向量（学生版）

易错点11平面向量易错点1：向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小称为向量的模(或大小)，记作|AB→|.(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.易错点2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ0时，与a的方向相同；②当λ0时，与a的方向相反.(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb易错点3.共线向量定理如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.易错点4.向量模的不等式向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.易错点4.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.易错点5.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).易错点6.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.易错点7.向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.1．在ABC中，点D满足2BDDC，E为AD上一点，且,1BEmBAnBCmn，则（）A．34B．43C．23D．322．已知点A､B在单位圆上，3π4AOB，若2()OCOAxOBxR，则2||OC的最小值是（）A．2B．3C．522D．43．若向量a，b满足1a，2b，aab，则a与b的夹角为（）A．4B．3C．34D．564．已知平面向量,ab满足||2,4aab，则b在a方向上的投影向量为（）A．12aB．12brC．aD．b5．已知平面向量()3)4,21,(ab，，若aλb与b垂直，则λ＝（）A．-2B．2C．-1D．11．已知向量(2,1)(2,4)ab，，则abrr（）A．2B．3C．4D．52．已知向量(1,)am，(,2)bm，若//ab，则实数m等于（）A．－2B．2C．－2或2D．03．已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A．3135B．1935C．1735D．19354．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．2abB．2abC．2abD．2ab5．已知向量()()2332ab，，，，则|–|abA．2B．2C．52D．50一、单选题1．已知四边形ABCD，设E为CD的中点，10,||4ACADAE，则||CD（）A．26B．6C．22D．22．已知向量(2,1)a，(2,4)b，则||abrr（）A．2B．3C．4D．53．已知向量ab，满足11aab，，则2aab()A．4B．3C．2D．04．已知非零向量a，b，c满足0abc，a，b的夹角为120，且2ba，则向量a，c的数量积为（）A．0B．22aC．22aD．2a5．设向量a，b，满足||2a，1b||=，a与b的夹角为60，则|2|ab（）A．23B．32C．4D．256．设非零向量、ab满足||2||,||3||ababb，则向量a与b的夹角为（）A．30°B．60C．120D．1507．已知向量,ab的夹角为4，且1||4,(23)122aabab，则向量b在向量a方向上的投影是（）A．2B．3C．42D．18．已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若12OPOAABBC，0,，则点P的轨迹一定过ABC的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心二、多选题9．已知向量(1,3),(2,4)ab，则下列结论正确的是（）.A．()abaB．|2|10abC．向量,ab的夹角为34D．b在a方向上的投影向量是10a10．在ABC中，M，N分别为AB，AC的中点，G为MN的中点，O为ABC所在平面内的任意一点，则（）A．0GAGBGCB．124OGOAOBOCC．AGGMGAGND．AGGNBCAGBCGN三、解答题11．记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2ABACBABCCACB．(1)求sinsinBC；(2)记ABC的面积为S，求2Sa的最大值．12．已知向量23sin,24xm，2cos,cos44xxn.(1)若2mn，求cos3x的值；(2)记fxmn，在ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足2coscosacBbC，求fA的取值范围.