易错点11 平面向量（解析版）

易错点11平面向量易错点1：向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小称为向量的模(或大小)，记作|AB→|.(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.易错点2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ0时，与a的方向相同；②当λ0时，与a的方向相反.(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb易错点3.共线向量定理如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.易错点4.向量模的不等式向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.易错点4.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.易错点5.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).易错点6.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.易错点7.向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.1．在ABC中，点D满足2BDDC，E为AD上一点，且,1BEmBAnBCmn，则（）A．34B．43C．23D．32【答案】D【详解】因为2BDDC，所以32BCBDuuuruuur，则32BEmBAnBCmBAnBD，因为A，E，D三点共线，所以312mn，所以32．故选：D.2．已知点A､B在单位圆上，3π4AOB，若2()OCOAxOBxR，则2||OC的最小值是（）A．2B．3C．522D．4【答案】A【详解】222||(2)4OCOAxOBOA2223π4||||cos224xOBxOAOBxx24(2)22x，因此2||2OC.故选：A.3．若向量a，b满足1a，2b，aab，则a与b的夹角为（）A．4B．3C．34D．56【答案】C【详解】由已知得0aab，1ab，12cos22abab，[0,]，所以34.故选：C．4．已知平面向量,ab满足||2,4aab，则b在a方向上的投影向量为（）A．12aB．12brC．aD．b【答案】C【详解】b在a方向上的投影向量为2cos,aabaabbabbaaaaaab故选：C.5．已知平面向量()3)4,21,(ab，，若aλb与b垂直，则λ＝（）A．-2B．2C．-1D．1【答案】C【详解】因为()3)4,21,(ab，，故22||4(2)2510ab=，，由题意aλb与b垂直，∴2()0abbabb，即46100，解得1，故选：C1．已知向量(2,1)(2,4)ab，，则abrr（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】因为2,12,44,3ab，所以22435ab.故选：D2．已知向量(1,)am，(,2)bm，若//ab，则实数m等于（）A．－2B．2C．－2或2D．0【答案】C【详解】由//ab知：1×2－m2＝0，即2m或2.故选：C.3．已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A．3135B．1935C．1735D．1935【答案】D【详解】5a，6b，6ab，225619aabaab.22222526367ababaabb，因此，1919cos,5735aabaabaab.故选：D.4．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】D【详解】由已知可得：11cos601122abab.A：因为215(2)221022abbabb，所以本选项不符合题意；B：因为21(2)221202abbabb，所以本选项不符合题意；C：因为213(2)221022abbabb，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102abbabb，所以本选项符合题意.故选：D.5．已知向量()()2332ab，，，，则|–|abA．2B．2C．52D．50【答案】A【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)ab，所以22||(1)12ab，故选A一、单选题1．已知四边形ABCD，设E为CD的中点，10,||4ACADAE，则||CD（）A．26B．6C．22D．2【答案】A【详解】在平面（空间同样）四边形ABCD中，22()()||||ACADAEECAEEDAEEC，因为10,||4ACADAE，所以||6,||26ECCD．故选：A．2．已知向量(2,1)a，(2,4)b，则||abrr（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】因为(2,1)a，(2,4)b，所以(4,3)ab，所以22||4(3)5ab，故选：D3．已知向量ab，满足11aab，，则2aab()A．4B．3C．2D．0【答案】B【详解】222||213aabaab﹒故选：B．4．已知非零向量a，b，c满足0abc，a，b的夹角为120，且2ba，则向量a，c的数量积为（）A．0B．22aC．22aD．2a【答案】A【详解】设|220bat，因为a，b的夹角为120，所以2cos120ababt，因为非零向量a，b，c满足0abc，所以cab，所以2acaabaab222||0aabtt．故选：A．5．设向量a，b，满足||2a，1b||=，a与b的夹角为60，则|2|ab（）A．23B．32C．4D．25【答案】A【详解】解：因为||2a，1b||=，a与b的夹角为60，所以1cos602112abab，所以22222222|2|(2)44442414112ababaabbaabb，所以|2|23abrr．故选：A．6．设非零向量、ab满足||2||,||3||ababb，则向量a与b的夹角为（）A．30°B．60C．120D．150【答案】C【详解】由||3||abb得222||2||||cos,||3||aababbb，代入||2||ab得1cos,2ab，又0,180ab故夹角为120．故选：C7．已知向量,ab的夹角为4，且1||4,(23)122aabab，则向量b在向量a方向上的投影是（）A．2B．3C．42D．1【答案】D【详解】由123122abab，22323122aababb，2213122aabb，21164cos31224bb，23240bb，32220bb，解得2b，所以向量b在向量a方向上的投影为cos14b，故选：D.8．已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若12OPOAABBC，0,，则点P的轨迹一定过ABC的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心【答案】B【详解】解：如图，取BC的中点D，连接AD，则12ABBCABBDAD．又1()2OPOAABBC，OPOAAD，即APAD．又0,，P点在射线AD上．故P的轨迹过ABC的重心．故选：B．二、多选题9．已知向量(1,3),(2,4)ab，则下列结论正确的是（）.A．()abaB．|2|10abC．向量,ab的夹角为34D．b在a方向上的投影向量是10a【答案】AC【详解】对于A，3,1ab，由31130aba，则abarrr，故A正确；对于B，221,32,44,2ab，2224225ab，故B错误；对于C，123410ab，221310a，222425b，则102cos,21025ababab，即向量,ab的夹角为34，故C正确；对于D，b在a方向上的投影向量是21010abaaaa，故D错误.故选：AC.10．在ABC中，M，N分别为AB，AC的中点，G为MN的中点，O为ABC所在平面内的任意一点，则（）A．0GAGBGCB．124OGOAOBOCC．AGGMGAGND．AGGNBCAGBCGN【答案】BCD【详解】取BC的中点H，连接GH，显然A，G，H三点共线，且G是AH的中点，则20GAGBGCGAGHGH，故选项A错误；因为112122424OAOBOOAOHOAOHCOG，故选项B正确；因为GMNG，所以AGGMAGNGGAGN，故选项C正确；因为4BCGN，所以44AGGNBCAGGNGNAGGNGN，44AGBCGNAGGNGNAGGNGN，所以AGGNBCAGBCGN，故选项D正确；故选：BCD.三、解答题11．记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2