易错点12 复数（解析版）

易错点12复数易错点1.复数的有关概念(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部.(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示.(5)复数的模：向量OZ→＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝a2＋b2.当b＝0时，|z|＝a2＝|a|.易错点2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.易错点3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.1．已知复数z的共轭复数z满足关系式i1iz，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】解：因为i1iz，所以21ii1i1iiiz，所以1iz，在复平面内所对应的点为1,1，位于第一象限；故选：A2．复数|3i|1iz的共轭复数z为（）A．22iB．22iC．1iD．1i【答案】D【详解】∵22|3i|312，则22(1i)1i1i(1i)(1i)z，∴1iz.故选：D.3．设复数21iz(其中i为虚数单位)，则z=（）A．5B．3C．5D．3【答案】A【详解】2112iiz，22||1(2)5z，故选：A4．已知aR，若211iaa是纯虚数（i是虚数单位），则a（）A．－1或1B．0C．－1D．0或1【答案】C【详解】211iaa是纯虚数，210a且10a，解得1a，故选：C5．已知复数z的共轭复数为z，若1iz，则22iz（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】B【详解】1iz，21i21i222i2i2i2i1i1i1i1i2z，故选：B1．已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则（）A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab【答案】A【详解】12iz12i(12i)(1)(22)izazbababa由0zazb,得10220aba,即12ab故选:A2．已知,,3i(i)iababR（i为虚数单位），则（）A．1,3abB．1,3abC．1,3abD．1,3ab【答案】B【详解】3i1iab，而,ab为实数，故1,3ab，故选：B.3．若复数z满足i34iz，则z（）A．1B．5C．7D．25【答案】B【详解】由题意有34ii34i43iiiiz，故223|54|z．故选：B．4．设(12i)2iab，其中,ab为实数，则（）A．1,1abB．1,1abC．1,1abD．1,1ab【答案】A【详解】因为,abÎR，2i2iaba，所以0,22aba，解得：1,1ab．故选：A.5．若13iz，则1zzz（）A．13iB．13iC．13i33D．13i33【答案】C【详解】13i,(13i)(13i)134.zzz13i13i1333zzz故选：C一、单选题1．已知z为复数i(1i)z的共轭复数，则zz（）A．1iB．1iC．2D．2【答案】D【详解】2ii1i,1i,2zzzz．故选：D．2．复数112i的虚部是（）A．25B．15C．15D．25【答案】A【详解】22112i12i12i12i12i(12i)(12i)1(2i)555所以虚部为25故选：A3．已知i为虚数单位，则复数2i2i（）A．34i55B．34i55C．34i55D．34i55【答案】B【详解】2i2i2i34i34i2i2i2i555.故选：B.4．已知(13i)2z（其中i为虚数单位），则复数z（）A．13i22B．13i22C．13i22D．13i22【答案】A【详解】又条件可知213i2223i13i42213i13i13iz.故选：A5．复数1i2iiz（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】因为1i12i12ii12i1iiiz，所以复数z在复平面内对应的点(1,1)位于第二象限，故选：B6．已知复数z在复平面内对应的点为11，，z是z的共轭复数，则1z（）A．11i22B．11i22C．11i22D．11i22【答案】B【详解】∵复数z在复平面内对应的点为11，，∴1iz，1iz，11i1i11i1i1i222z.故选：B．7．已知izz（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点一定在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上D．第二、四象限的角平分线上【答案】D【详解】设izab，则izab，则ii(i)izzabba，即i=iabba，ba，∴i=izabaa，复数z在复平面上对应的点为,aa，一定在第二、四象限的角平分线上，故选：D8．在复平面内，复数17i14i对应的点为M，复数22i对应的点为N，则向量MN的模为（）A．217B．10C．213D．26【答案】B【详解】17i17i(14i)4i14i(14i)(14i)，222ii4i34i4，(4,1),(3,4)MN，22(1,3),||(1)310MNMN.故选：B二、多选题9．若复数z满足：2i86izz，则（）A．z的实部为3B．z的虚部为1C．10zzD．z在复平面上对应的点位于第一象限【答案】ABD【详解】设i,zababR，因为2i86izz，所以2i86izzz，所以2222i86iabba，所以2228abb，26a，所以3a，1b，所以3iz，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；210zzz，故C不正确；z在复平面上对应的点3,1位于第一象限，故D正确．故选:ABD．10．已知复数z满足方程229240zzz，则（）A．z可能为纯虚数B．该方程共有两个虚根C．z可能为13iD．该方程的各根之和为2【答案】ACD【详解】解：由229240zzz，得290z或2240zz，即29z或2(1)3z，解得3iz或13zi，即方程的根分别为13iz、23iz、313iz、413iz，所以12343i3i13i13i2zzzz故选：ACD.三、解答题11．已知12,zzC，121zz，123zz，求12zz.【详解】设复数12,zz对应的向量分别为12,OZOZ，因为12121,3zzzz，可得121,1OZOZ，且22221212121212()2223zzOZOZOZOZOZOZOZOZ，解得1221OZOZ，所以222212121212()21zzOZOZOZOZOZOZ，所以121zz.故答案为：1.12．设复数1z、2z满足12122i2i10zzzz.(1)若1z、2z满足212izz，求1z、2z；(2)若13z，则是否存在常数k，使得等式2|4i|zk恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）由212izz可得：212izz，代入已知方程得11112i2i2i2i10zzzz，即211||2i30zz，令1izab（abR、），∴222ii30abab，即222320abbai，∴2223020abba，解得01ab或03ab，∴1iz、2iz或13iz、25iz；（2）由已知得2122i12izzz，又13z，∴222i132izz，∴222222222i1|32i|2i|32i|zzzz，∴22222i2i32i2izzzz，整理得22224i4i110zzz即22224i4i110zzzz，所以22224i4i4i27zzz，故224i4i27zz，∴22|4i|27z，即24i33z，∴存在常数33k，使得等式24izk恒成立.