易错点18 不等式选讲（学生版）

易错点18不等式选讲易错点1.绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}∅∅|x|a{x|xa或x－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易错点2.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．易错点3.不等式证明1．比较法(1)比差法的依据是：a－b0⇔ab．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B0，欲证A≥B，只需证AB≥1.2．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．易错点4.柯西不等式1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．3、柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32.4、柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．1．已知平面向量a，b是单位向量，且1abrr，向量c满足32cab，则cr的最大值为（）A．332B．23C．31D．2312．已知,abR，则“1ab”是“1ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设||||1xy，若(,)|||1|Mxyaxbyaybx的最大值是5，则ab的最大值是（）A．254B．22C．2D．44．关于x的不等式3xaxa恒成立，则实数a的取值范围为（）A．3,0,2B．2,C．3,2D．,25．已知函数()2Rfxxxaxa(1)当1a时，解不等式()1fx；(2)若()2fxx对于任意的13,42x轾Î犏犏臌恒成立，求实数a的取值范围．1．已知集合1,1,2,4,11ABxx，则AB（）A．{1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{1,4}2．已知,abR，若对任意,|||4||25|0xaxbxxR，则（）A．1,3abB．1,3abC．1,3abD．1,3ab3．已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：(1)19abc；(2)12abcbcacababc；4．已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：(1)23abc；(2)若2bc，则113ac．5．已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．一、单选题1．如果不等式1xa成立的充分不必要条件是1322x；则实数a的取值范围是（）A．13,22B．13,22C．13,,22D．13,,222．设Rx，则“12x”是“111x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．不等式123x的解集为（）A．1,2B．,12,C．1,D．,24．若正数,,mnp满足4mnp，且222222mnmnpnpnmpmpmnp，则实数的取值范围为（）A．,6B．,4C．,12D．,85．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即abcd）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()254fxxx的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A．521,5B．213,5C．1361,13D．6129,136．若存在实数a，使得当0,0xmm时，都有2214xxa，则实数m的最大值为（）A．1B．32C．2D．527．已知0x，Ry，且2530xxyxy，则2303xy的最大值为（）A．3B．6C．26D．328．设1232fxxbkxbxb，其中常数0k，123,,bbbR.若函数yfx的图象如图所示，则数组123,,bbb的一组值可以是（）A．3,1,1B．1,2,1C．1,2,2D．,,131二、填空题9．已知平面向量a，b，c满足2abab，且12abc，则cr的最大值为________．10．在直角坐标系中，定义两点11,Axy与22,Bxy之间的“直角距离”为1212(,)dABxxyy.若A，B是椭圆2214xy上任意两点，则(,)dAB的最大值是___________三、解答题11．已知：1fxxxm，0m．(1)若2m，求不等式2fx的解集；(2)gxfxxm，若gx的图象与x轴围成的三角形面积不大于54，求m的取值范围．12．已知,,abc均为正实数，且1abc.(1)求124abc的最小值;(2)证明:222bcacabbcacab.