2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 第1讲　平面向量

第1讲平面向量[考情分析]1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度．考点一平面向量的线性运算核心提炼共线定理及推论(1)已知向量a＝(x1，y1)，a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.(2)若OA→＝λOB→＋μOC→，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.例1(1)(2022·德州模拟)如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口，可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设AB→＝a，AF→＝b，若BM→＝MC→，EF→＝3EN→，则MN→等于()A.56a＋76bB．－56a＋76bC．－35a＋16bD.35a＋16b答案B解析由正六边形的性质可知AB→＝FO→＝OC→，AF→＝OE→＝BO→，因为BM→＝MC→，EF→＝3EN→，所以OM→＝12(OB→＋OC→)，ON→＝OF→＋FN→＝OF→＋23FE→＝OF→＋23(OE→－OF→)＝23OE→＋13OF→，所以MN→＝MO→＋ON→＝－12(OB→＋OC→)＋23OE→＋13OF→＝－12(－AF→＋AB→)＋23AF→＋13(－AB→)＝12AF→－12AB→＋23AF→－13AB→＝76AF→－56AB→＝－56a＋76b.(2)在△ABC中，AE→＝－2CE→，F为边AB上一点，BE与CF交于点O，若AO→＝14AB→＋yAC→，则y等于()A.12B.23C.34D．2答案A解析如图所示，∵AE→＝－2CE→，则AC→＝32AE→，∴AO→＝14AB→＋yAC→＝14AB→＋32yAE→，∵O，B，E三点共线，∴14＋32y＝1，解得y＝12.规律方法向量线性运算问题的求解方法(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则、三角形法则求解．(2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算．(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1(1)(2022·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若BM→＝a，BN→＝b，则BD→等于()A.34a＋23bB.23a＋23bC.34a＋34bD.23a＋34b答案B解析如图所示，设AB→＝m，AD→＝n，且BD→＝xa＋yb，则BD→＝xa＋yb＝x12n－m＋yn－12m＝12x＋yn－x＋12ym，因为BD→＝n－m，所以12x＋y＝1，x＋12y＝1，解得x＝23，y＝23，所以BD→＝23a＋23b.(2)(2022·张家口检测)已知向量a＝(1－2m，1)，向量b＝(3m＋1,2)，若a∥b，则实数m＝________.答案17解析因为a∥b，所以3m＋1＝2－4m，所以m＝17.考点二平面向量的数量积核心提炼1．若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6B．－5C．5D．6答案C解析由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即25＋3t5＝3＋t，解得t＝5.(2)(2022·益阳调研)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()A．为定值10B．为定值6C．最大值为18D．与P的位置有关答案A解析设BP→＝λBC→(0≤λ≤1)，则AP→·(AB→＋AC→)＝(AB→＋BP→)·(AB→＋AC→)＝AB→2＋AB→·AC→＋λBC→·(AB→＋AC→)，因为λBC→·(AB→＋AC→)＝λ(BA→＋AC→)·(AB→＋AC→)＝λ(AC→2－AB→2)＝0，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝9＋9－162×3×3＝19，所以AP→·(AB→＋AC→)＝AB→2＋AB→·AC→＝32＋3×3×cos∠BAC＝10.规律方法求向量数量积的三种方法(1)定义法．(2)利用向量的坐标运算．(3)利用数量积的几何意义．跟踪演练2(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则AF→·AE→等于()A．3B．2C.32D.12答案B解析以A为坐标原点，可建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1,1)，F32，12，∴AF→＝32，12，AE→＝(1,1)，∴AF→·AE→＝32＋12＝2.(2)(2022·厦门集美中学模拟)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0，|b－c|＝9，则|a|＝________.答案3解析由已知可得a＝－b－c，则(a－b)·(a－c)＝(－2b－c)·(－b－2c)＝(2b＋c)·(b＋2c)＝0，即2b2＋2c2＋5b·c＝0，因为|b－c|＝9，则b2＋c2－2b·c＝81，所以b2＋c2＝45，b·c＝－18，因此|a|2＝a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2b·c＝9，故|a|＝3.考点三平面向量的综合应用核心提炼向量求最值的常用方法(1)利用三角函数求最值．(2)利用基本不等式求最值．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值．例3(1)(2022·临川模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|AD|＝13|AC|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足AQ→＝xAB→＋yAC→，则1x＋1y的最小值为()A．4B．43C．8D．4＋23答案D解析由题意知点D满足AD→＝13AC→，由AQ→＝xAB→＋yAC→＝xAB→＋3yAD→，由点Q在线段BD上，结合向量的三点共线定理可得x＋3y＝1，x0，y0，则1x＋1y＝1x＋1y(x＋3y)＝4＋3yx＋xy≥4＋23，当且仅当3yx＝xy，即x＝3－12，y＝3－36时等号成立，即D选项正确．(2)已知在菱形ABCD中，AC＝22，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为()A.255B.55C.12D.33答案D解析设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(0,1)，E－23，－23，则EA→＝423，23，EB→＝23，53，则cos∠AEB＝EA→·EB→|EA→||EB→|＝223＝33.规律方法用向量法解决平面几何问题，通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用向量的坐标运算解有关问题，这样可以避免繁杂的逻辑推理，同时加强了数形结合思想在解题中的应用．跟踪演练3(1)在平面四边形ABCD中，AC→＝(－2,3)，BD→＝(6,4)，则该四边形的面积为()A.52B．252C．13D．26答案C解析∵AC→·BD→＝－12＋12＝0，∴AC⊥BD，∴平面四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×4＋9×36＋16＝13.(2)(2022·漳州质检)已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则PB→·PC→的取值范围为()A.－14，2B.－14，4C．[0,2]D．[0,4]答案A解析取线段AB的中点O，连接CO，则OC⊥AB，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(a，0)，则－1≤a≤1，B(1,0)，C(0，3)，PB→＝(1－a，0)，PC→＝(－a，3)，故PB→·PC→＝a(a－1)＝a－122－14∈－14，2.专题强化练一、选择题1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于()A．2B．3C．4D．5答案D解析由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝42＋－32＝5.2．(2022·山东联考)已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c等于()A．－2B．－1C．0D．2答案A解析b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.3．(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→等于()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA，所以AB→＝3AD→，所以CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋3AD→＝CA→＋3(CD→－CA→)＝－2CA→＋3CD→＝－2m＋3n.4．已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，若－a＋2b与ma＋3b共线，则|ma＋3b|等于()A．2B．4C.22D．22答案A解析因为－a＋2b与ma＋3b共线，所以－1m＝23，m＝－32.又|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，所以|ma＋3b|＝－32a＋3b＝94|a|2＋9|b|2－2×32×3a·b＝94×4＋9×49－9＝2.5．(2022·保定模拟)已知向量a＝(2,1)，|b|＝10，|a－b|＝5，则a与b的夹角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案D解析∵a＝(2,1)，∴|a|＝4＋1＝5，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝15－102cos〈a，b〉＝25，解得cos〈a，b〉＝－22，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝3π4，即a与b的夹角为3π4.6．(2022·南昌模拟)已知向量OA→＝(1,1)，将向量OA→绕原点O逆时针旋转90°得到向量OB→，将向量OA→绕原点O顺时针旋转135°得到向量OC→，则下列结论正确的个数是()①OA→＋OB→＋OC→＝0；②|BC→|＝|CA→|；③OA→·OB→＝0；④CA→·AB→＝－2.A．1B.2C.3D.4答案C解析由题意得OA→＝(1,1)，OB→＝(－1,1)，OC→＝(0，－2)，所以OA→＋OB→＋OC→＝(0,2－2)≠0，故①错误；|BC→|＝|CA→|＝4＋22，故②正确；OA→·OB→＝1×(－1)＋1×1＝0，故③正确；CA→·AB→＝(1,1＋2)·(－2,0)＝－2，故④正确．7．(2022·深圳模拟)四边形ABCD为边长为1的正方形，M，N分别为边CD，BC的中点，则下列结论正确的是()A.AB→＝2MD→B.AD→＋MC→＝MA→C.AM→⊥DN→D.AM→·BC→＝22答案C解析A项，AB→＝2DM→＝－2MD→，故A错误；B项，MA→＝MD→＋DA→＝－DM→－AD→＝CM→－AD→，故B错误；以D为原点，DC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A(0,1)，M12，0，C(1,0)，B(1,1)，N1，12，∴AM→＝12，－1，DN→＝1，12，BC→＝(0，－1)，∴AM→·DN→＝12－12＝0，∴AM→⊥DN→，故C正确；AM→·BC→＝1，故D错误．8．(2022·东北师大附中检测)若非零向量AB→和AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0,且CA→|CA→|·CB→|CB→|＝