2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 微重点7　平面向量的最值与范围问

微重点7平面向量的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．考点一求参数的最值(范围)例1(1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若CG→＝λCB→＋μCD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．答案[1,4]解析根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为23，以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则F(－23，0)，D(3，3)，C(23，0)，B(3，－3)，设点G的坐标为(m，n)，则CG→＝(m－23，n)，CB→＝(－3，－3)，CD→＝(－3，3)，由CG→＝λCB→＋μCD→可得，m－23＝－3λ－3μ，即λ＋μ＝－33m＋2，数形结合可知m∈[－23，3]，则－33m＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]．(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[－1,3]B．[－1,5]C．[－7,3]D．[5,7]答案A解析∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，a·b＝|a||b|cosθ＝2|b|2cosθ，不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cosθ≥0恒成立，∵cosθ∈[－1,1]，∴13－λ2＋8－4λ≥0，13－λ2－8＋4λ≥0，∴－7≤λ≤3，－1≤λ≤5，∴－1≤λ≤3.规律方法利用共线向量定理及推论(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．(2)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.跟踪演练1(2022·滨州模拟)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A.0，13B.13，12C．[0,1]D．[1,2]答案C解析由题意，设AN→＝tAM→(0≤t≤1)，如图．当t＝0时，AN→＝0，所以λAB→＋μAC→＝0，所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；当0t≤1时，因为AN→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，所以tAM→＝λAB→＋μAC→，即AM→＝λtAB→＋μtAC→，因为M，B，C三点共线，所以λt＋μt＝1，即λ＋μ＝t∈(0,1]．综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]．考点二求向量模、夹角的最值(范围)例2(1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为()A．4B．5C．6D．7答案C解析可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2，|a＋e|＝x＋12＋y2＝8x－4，当x＝5时，8x－4取得最大值为6，即|a＋e|的最大值为6.(2)在平行四边形ABCD中，AB→|AB→|＋2AD→|AD→|＝λAC→|AC→|，λ∈[2，2]，则cos∠BAD的取值范围是________．答案－34，－14解析因为AB→|AB→|＋2AD→|AD→|＝λAC→|AC→|，且AB→＋AD→＝AC→，所以|AB→|∶|AD→|∶|AC→|＝1∶2∶λ，不妨设|AB→|＝1，则|AD→|＝2，|AC→|＝λ，在等式AB→|AB→|＋2AD→|AD→|＝λAC→|AC→|两边同时平方可得5＋4cos∠BAD＝λ2，则cos∠BAD＝λ2－54，因为λ∈[2，2],所以cos∠BAD＝λ2－54∈－34，－14.易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]；若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b0和a，b不共线，同理若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b0和a，b不共线．跟踪演练2已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|＋|a－b|的最大值为________．答案213解析设向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝22＋32＋2×2×3×cosθ＝13＋12cosθ，|a－b|＝22＋32－2×2×3×cosθ＝13－12cosθ，则|a＋b|＋|a－b|＝13＋12cosθ＋13－12cosθ，令y＝13＋12cosθ＋13－12cosθ，则y2＝26＋2169－144cos2θ∈[36,52]，据此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝52＝213，即|a＋b|＋|a－b|的最大值是213.考点三求数量积的最值(范围)例3(1)(2022·福州质检)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a－b|＝1，则(a－b)·(b－c)的最大值为()A.14B.12C．1D.32答案B解析∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，∴a·b＝12，∴(a－b)·(b－c)＝a·b－a·c－b2＋b·c＝12－1－(a－b)·c＝－12－|a－b|·|c|cos〈a－b，c〉＝－12－cos〈a－b，c〉，∵cos〈a－b，c〉∈[－1,1]，∴(a－b)·(b－c)∈－32，12，即(a－b)·(b－c)的最大值为12.(2)(2022·广州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上(包括端点)，则AD→·AP→的取值范围是________．答案[－2,2]解析如图所示，以C为原点，BC→为x轴正方向，过点C垂直向上的方向为y轴，建立平面直角坐标系．因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，则B(－2,0)，C(0,0)，D(1，3)，A(－1，3)．因为点P在BC边上(包括端点)，所以设P(t，0)，其中t∈[－2,0]．所以AD→＝(2,0)，AP→＝(t＋1，－3)，所以AD→·AP→＝2t＋2∈[－2,2]．规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．跟踪演练3已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰△OCD的顶点C，D在半圆弧AB上运动，且∠COD＝120°，点P是半圆弧AB上的动点，则PC→·PD→的取值范围为()A.－34，34B.－34，1C.－12，1D.－12，12答案C解析以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，不妨取C(1,0)，则D－12，32，设P(cosα，sinα)(α∈[0，π])，PC→·PD→＝(1－cosα，－sinα)·－12－cosα，32－sinα＝12－32sinα－12cosα＝12－sinα＋π6.因为α∈[0，π]，所以α＋π6∈π6，7π6，所以sinα＋π6∈－12，1，所以12－sinα＋π6∈－12，1，即PC→·PD→的取值范围为－12，1.专题强化练1．(2022·山东省实验中学诊断)设向量OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a0，b0，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值为()A．4B．6C．8D．9答案C解析由题意得，AB→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λAC→且λ∈R，则a－1＝－λb＋1，2λ＝1，可得2a＋b＝1，∴1a＋2b＝1a＋2b(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当b＝2a＝12时，等号成立．∴1a＋2b的最小值为8.2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且OA→⊥OB→，则(OC→－OA→)·(OC→－OB→)的最大值为()A．1＋2B．1－2C.2－1D．1答案A解析如图，作出OD→，使OA→＋OB→＝OD→，则(OC→－OA→)·(OC→－OB→)＝OC→2－OA→·OC→－OB→·OC→＋OA→·OB→＝1－(OA→＋OB→)·OC→＝1－OD→·OC→＝1－2cos〈OD→，OC→〉，当cos〈OD→，OC→〉＝－1时，(OC→－OA→)·(OC→－OB→)取得最大值为1＋2.3．(2022·杭州模拟)平面向量a，b满足|a|＝1，b－32a＝1，记〈a，b〉＝θ，则sinθ的最大值为()A.23B.53C.12D.32答案A解析因为|a|＝1，b－32a＝1，所以b－32a2＝|b|2－3a·b＋94|a|2＝1，则|b|2－3|a||b|cosθ＋94－1＝0，即|b|2－3|b|cosθ＋54＝0，所以cosθ＝|b|2＋543|b|＝|b|3＋512|b|≥2536＝59，当且仅当|b|＝52时等号成立，因为〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，所以sinθ＝1－cos2θ≤1－59＝23，即sinθ的最大值为23.4．已知四边形ABCD是菱形，对角线AC＝2，π3Dπ2，则AB→·AD→的取值范围为()A.23，1B．(1,2)C．(0,1)D．(－2,0)答案D解析设AC与BD交于点O，∠BAD＝2θ，则AO＝CO＝1，所以AB→·AD→＝|AB→||AD→|cos2θ＝1cosθ·1cosθ·cos2θ＝cos2θ1＋cos2θ2＝2cos2θ1＋cos2θ＝2－21＋cos2θ，因为π3Dπ2，所以π22θ2π3，则－12cos2θ0，－22－21＋cos2θ0，所以AB→·AD→的取值范围为(－2,0)．5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|PC→＋4PD→|的最小值为()A．35B．6C．25D．4答案B解析如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因为AD＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)，所以PC→＝(2，－x)，PD→＝(1，a－x)，4PD→＝(4,4a－4x)，所以PC→＋4PD→＝(6,4a－5x)，所以|PC→＋4PD→|＝36＋4a－5x2≥6，所以当4a－5x＝0，即x＝45a时，|PC→＋4PD→|的最小值为6.6．已知不共线的平面向量m，n满足|m|＝2，|n|≥3，|m＋n|－|m－n|＝2，则m与n夹角的余弦值的取值范围为()A.0，22B.12，22C.0，32D.22，32答案B解析∵|m|＝2，不妨设m＝(2,0)，由|m＋n|－|m－n|＝2，得|n＋m|－|n－m|＝2，令n＝ON→，其对应点N的轨迹是以(－2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支，方程为x2－y23＝1(x0)，实半轴长为1，虚半轴长为3，又|n|≥3，由x2＋y2＝3，x2－y23＝1，得N62，62，此时ON→与x轴的夹角为π4，则满足|n|≥3的N在图中双曲线N点的上方或在双曲线上与N点关于x轴对称的N1点下方的位置，如图所示，又双曲线的渐近线为y＝±3x，所以m与n夹角的取值范围为π4，π3，所以m与n夹角的余弦值的取值范围为12，22.7．(2022·武汉模拟)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上的任意