2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 第2讲　三角函数的图象与性质

第2讲三角函数的图象与性质[考情分析]1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠kπ＋π2，k∈Z.2．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos2α等于()A．－45B．－35C．－15D.35答案B解析因为角α的终边经过点(－1,2)，所以sinα＝2－12＋22＝25，cosα＝－1－12＋22＝－15，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝15－45＝－35.(2)已知sin－π2－αcos－7π2＋α＝1225，且0απ4，则sinα＝__________，cosα＝________.答案3545解析sin－π2－αcos－7π2＋α＝－cosα·(－sinα)＝sinαcosα＝1225.∵0απ4，∴0sinαcosα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝35，cosα＝45.二级结论(1)若α∈0，π2，则sinααtanα.(2)由(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα知，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα知一可求二．跟踪演练1(1)(2022·山西联考)若sin10°＝asin100°，则sin20°等于()A.aa2＋1B．－aa2＋1C.2aa2＋1D．－2aa2＋1答案C解析由题可知a0，sin10°＝asin100°＝asin(90°＋10°)＝acos10°，又因为sin210°＋cos210°＝1，解得sin10°＝aa2＋1，cos10°＝1a2＋1，所以sin20°＝2sin10°cos10°＝2·aa2＋1·1a2＋1＝2aa2＋1.(2)已知2cosα＋3π2＝cos(α－π)，则sin2α＋cos2α＝________.答案－15解析∵2cosα＋3π2＝cos(α－π)，∴2sinα＝－cosα，∴tanα＝－12，∴sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝2tanα＋1－tan2α1＋tan2α＝－15.考点二三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)图象的步骤例2(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)等于()A．sinx2－7π12B．sinx2＋π12C．sin2x－7π12D．sin2x＋π12答案B解析依题意，将y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sinx－π4―――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y＝sinx＋π12的图象――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍y＝sinx2＋π12的图象．(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0)的部分图象如图所示，则f(x)＝______.(填序号)①2sin2x＋2π3；②2sin2x－5π3；③2cos2x－π6；④2cosx－7π6.答案②③解析根据图象，可得A＝2，设f(x)的最小正周期为T，则34T＝7π12－－π6＝3π4，解得T＝π，所以ω＝2πT＝2.将7π12，－2代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中，得2sin2×7π12＋φ＝－2，则7π6＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ－5π3(k∈Z)，所以f(x)＝2sin2x＋2kπ－5π3(k∈Z)．令k＝0，则f(x)＝2sin2x－5π3＝2sin2x－7π6－π2＝－2cos2x－7π6＝2cos2x－π6.规律方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.16B.14C.13D.12答案C解析记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋π2ω＋π3.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得ω＝2k＋13(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝13.(2)(2022·黄山模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφ0)的部分图象如图所示，为了得到y＝f(x)的图象，需将函数g(x)＝Acosωx的图象至少向右平移()A.π3个单位长度B.π4个单位长度C.π6个单位长度D.2π3个单位长度答案A解析由图象可知A＝2，f(x)的最小正周期T＝2×π3＋π6＝2πω，解得ω＝2，∴fπ3＝2sin2π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－π6＋2kπ(k∈Z)，又－πφ0，∴φ＝－π6，∴f(x)＝2sin2x－π6＝2sin2x－π12.∵g(x)＝2cos2x＝2sin2x＋π2＝2sin2x＋π4，∴将g(x)的图象至少向右平移π4＋π12＝π3个单位长度可得f(x)的图象．考点三三角函数的性质核心提炼函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质(1)单调性：由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)可得对称轴．(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sinωx＋π4＋b(ω0)的最小正周期为T.若2π3Tπ，且y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2等于()A．1B.32C.52D．3答案A解析因为2π3Tπ，所以2π32πωπ，解得2ω3.因为y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，所以b＝2，且sin3π2ω＋π4＋b＝2，即sin3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ(k∈Z)，又2ω3，所以13π43π2ω＋π419π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f(x)＝sin52x＋π4＋2，所以fπ2＝sin52×π2＋π4＋2＝sin3π2＋2＝1.(2)(2022·赣州模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(－m，m)上单调递增，则m的取值范围是()A.0，π4B.0，π2C.0，3π4D.0，3π2答案B解析因为f(x)＝sinωx＋π4(ω0)相邻两条对称轴之间的距离2π，则12T＝2π，即T＝4π，则ω＝2π4π＝12，则f(x)＝sin12x＋π4，由2kπ－π2≤12x＋π4≤2kπ＋π2，得4kπ－3π2≤x≤4kπ＋π2(k∈Z)，所以f(x)在－3π2，π2上单调递增，由(－m，m)⊆－3π2，π2得0m≤π2，所以m的取值范围是0，π2.规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sint的性质判断各选项．跟踪演练3(1)(2022·桂林模拟)已知函数f(x)＝cosx()sinx－3cosx，则()A．f(x)的周期为2πB．f(x)在区间－π6，π6上单调C．f(x)的图象关于直线x＝－π12对称D．f(x)的图象关于点π6，0对称答案C解析由题意，得f(x)＝cosx()sinx－3cosx＝sin2x－π3－32.对于选项A，f(x)的周期为T＝2π2＝π，A选项错误；对于选项B，由－π2≤2x－π3≤π2，解得－π12≤x≤5π12，B选项错误；对于选项C，由2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－π12，所以f(x)的图象关于直线x＝－π12对称，C选项正确；对于选项D，由2x－π3＝kπ(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，当k＝0时，x＝π6，所以f(x)的图象关于点π6，－32对称，D选项错误．(2)(2022·广州联考)若函数y＝tanωx＋π4在－π3，π3上单调递减，且在－π3，π3上的最大值为3，则ω＝________.答案－14解析因为函数y＝tanωx＋π4在－π3，π3上单调递减，所以ω0，π|ω|≥2π3，则－32≤ω0，又因为函数在－π3，π3上的最大值为3，所以－π3ω＋π4＝π3＋kπ，k∈Z，即ω＝－14－3k，k∈Z，所以ω＝－14.专题强化练一、选择题1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P12，－32，则角θ可以为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案D解析∵角θ的终边经过点P12，－32，∴θ是第四象限角，且cosθ＝12，sinθ＝－32，则θ＝5π3＋2kπ，k∈Z，结合选项知角θ可以为5π3.2．(2022·惠州模拟)已知tanα＝2，πα3π2，则cosα－sinα等于()A.55B．－55C.355D．－355答案A解析由tanα＝sinαcosα＝2，且sin2α＋cos2α＝1，πα3π2，得sinα＝－255，cosα＝－55，所以cosα－sinα＝－55－－255＝55.3.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)等于()A.22B．－22C.32D．－32答案B解析时针指向9时，分针指向12，当分针转到指向9时，旋转了圆周的34，因此时针旋转了1个小时即2π12的34，所以θ＝2π12×34＝π8，所以(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝sin2θ－cos2θ＝－cos2θ＝－cosπ4＝－22.4．(2022·开封模拟)已知点π6，0是函数f(x)＝2sinωx＋π3图象的一个对称中心，其中ω∈(0,6)，将函数f(x)的图象向右平移5π24个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)等于()A．2sin2x＋π8B．－2sin4xC．－2cos2xD．－2co