求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f[g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。例1已知f（xx1）=xxx1122，求f（x）的解析式.解：设xx1=t，则x=11t（t≠1），∴f（t）=111)11(1)11(22ttt=1+2)1(t+（t－1）=t2－t+1故f（x）=x2－x+1（x≠1）.评注:实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2已知f（x+1）=x+2x，求f（x）的解析式.解：f（x+1）=2)(x+2x+1－1=2)1(x－1，∴f（x+1）=2)1(x－1（x+1≥1），将x+1视为自变量x，则有f（x）=x2－1（x≥1）.评注:使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例3已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）=f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则f（0）=c=0①f（x+1）=a2)1(x+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）=f（x）+2x+8与①、②得822babba解得.7,1ba故f（x）=x2+7x.评注:已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法（方程组法）例4设函数f（x）满足f（x）+2f（x1）=x（x≠0），求f（x）函数解析式.分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（x1），若用x1去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.解：∵f（x）+2f（x1）=x（x≠0）①由x1代入得2f（x）+f（x1）=x1（x≠0）②解①②构成的方程组，得f（x）=x32－3x（x≠0）.评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程练习：已知定义在R上的函数满足，求的解析式。五、特殊值法例5设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y，有f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1），得到f（x）函数解析式，只有令x=y.解：令x=y，由f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1）得f（0）=f（x）－x（2x－x+1），整理得f（x）=x2+x+1.练习：已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点对称.当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x0时，y=2)1(x－1=x2+2x.故f（x）=xxxx2222评注:对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.x≥0，x＜0.七、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例6.已知函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，所以，当，所以八、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例7.已知函数，求它的反函数。解：因为，反函数为九、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8.对定义域分别是的函数，规定：函数若，写出函数的解析式。