2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题6 微重点14　椭圆、双曲线的二级结

微重点14椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，则椭圆中12PFFS△＝b2·tanθ2，双曲线中12PFFS△＝b2tanθ2.例1(2022·临川模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为()A．2B．4C．6D．12答案D解析由e＝12，得ca＝12，即a＝2c.①设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝3(舍负)，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知12FPFS△＝b2tan∠F1PF22＝12r(2a＋2c)，即33b2＝3(a＋c)，②又a2＝b2＋c2，③联立①②③得c＝3，a＝6，b＝33，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.易错提醒(1)要注意公式中θ的含义．(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62答案D解析设双曲线C2的方程为x2a22－y2b22＝1，则有a22＋b22＝c22＝c21＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为b21tan45°＝b22tan45°，即b22＝b21＝1.所以a22＝c22－b22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝c2a2＝32＝62.考点二焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则1|AF|＋1|BF|＝2ab2，同理，双曲线中，1|AF|＋1|BF|＝2ab2.例2已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－7，0)，F2(7，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若AF2—→＝2F2B—→，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________．答案x23－y24＝1解析如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，又1|AF2|＋1|BF2|＝2ab2，∴12t＋1t＝2ab2，即32t＝2ab2，又|F1B|－|F2B|＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴32a＝2ab2，即3b2＝4a2，又c＝7，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为x23－y24＝1.易错提醒公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立．跟踪演练2已知椭圆C：x216＋y24＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点．且|AF2|＝2，则|AB|＝________，cos∠F1AB＝________.答案83－13解析由题意知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，由1|AF2|＋1|BF2|＝2ab2，得12＋1|BF2|＝84，解得|BF2|＝23.∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝83，由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6，|BF1|＝8－23＝223，在△AF1B中，cos∠F1AB＝62＋832－22322×6×83＝－13.考点三周角定理核心提炼周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－b2a2，双曲线中kPA·kPB＝b2a2.例3已知椭圆C：x22＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为()A．－116B．－132C.164D.11024答案B解析由椭圆的性质可得1122APBPAPBPkkkk＝－b2a2＝－12.由椭圆的对称性可得1101011101,,.2BPAPBPAPAPAPkkkkkk同理可得293847561.2APAPAPAPAPAPAPAPkkkkkkkk∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为－125＝－132.规律方法周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－b2a2，双曲线中kPA·kPB＝b2a2.跟踪演练3设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为()A.13B.12C．－1D．－12答案B解析∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴b2a2＝12，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－b2a2＝－12，∴kMB＝12.考点四过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1(椭圆中)或x0xa2－y0yb2＝1(双曲线中)．例4已知椭圆C：x24＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1R2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，则|AB|的最大值为________．答案1解析连接OA，OB，如图所示．设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为x0x4＋y0y＝1，即x0x＋4y0y－4＝0，又R2＝|OA|2＝16x20＋16y20，R为圆半径，R∈(1,2)，|AB|2＝|OB|2－R2＝x20＋y20－16x20＋16y20，又x204＋y20＝1，所以x20＝4－4y20，所以|AB|2＝4－3y20－43y20＋1＝5－(3y20＋1)－43y20＋1≤5－24＝1，当且仅当3y20＋1＝43y20＋1，即y20＝13，x20＝83时，等号成立，所以|AB|max＝1，此时R2＝16x20＋16y20＝2，即R＝2∈(1,2)，故当R＝2时，|AB|max＝1.规律方法(1)该切线方程的前提是点P在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x－a)2＋(y－b)2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝1.跟踪演练4已知F为椭圆C：x23＋y22＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为()A．3B．2C．1D．0答案D解析由已知可得F(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)则切线AM，AN的方程分别为x1x3＋y1y2＝1，x2x3＋y2y2＝1，因为切线AM，AN过点A(3，t)，所以x1＋ty12＝1，x2＋ty22＝1，所以直线MN的方程为x＋ty2＝1，因为F(1,0)，所以1＋t×02＝1，所以点F(1,0)在直线MN上，所以M，N，F三点共线，所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.专题强化练1．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C的离心率为()A.295B.303C.355D.305答案C解析设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为xx0a2－yy0b2＝1，故切线l的斜率k＝b2x0a2y0，因为k·kOP＝25，则b2x0a2y0·y0x0＝25，则b2a2＝25，即双曲线C的离心率e＝1＋25＝355.2．椭圆C：x29＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且AF2—→＝2F2B—→，则△AF1B的外接圆面积为()A.5π2B．4πC．9πD.25π4答案D解析如图，a＝3，b＝2，c＝5，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∵1|AF2|＋1|BF2|＝2ab2，∴1t＋12t＝32⇒t＝1，∴|BF2|＝1，|AF2|＝2，由椭圆定义知|BF1|＝5，|AF1|＝4，∴△ABF1中，|AB|＝3，|AF1|＝4，|BF1|＝5，∴AF1⊥AB，∴△ABF1外接圆半径R＝|BF1|2＝52，其面积为25π4.3．(2022·保定模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是()A.3B.5C．3D．5答案B解析如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2∴四边形MF2NF1为矩形，∴12NFFS△＝4a2，又12NFFS△＝b2tanπ4＝4a2，即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝ca＝5.4．(2022·广州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A．双曲线的渐近线方程为y＝±33xB．双曲线C的离心率为2C．若PF1⊥PF2，且12PFFS△＝3，则a＝2D．以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切答案D解析设P(x，y)，则y2＝b2x2a2－1，因为A1(－a，0)，A2(a，0)，所以12PAPAkk＝b2a2＝3，所以ba＝±3，所以渐近线方程为y＝±3x，故A错误；又e＝1＋b2a2＝2，故B错误；因为ca＝2，所以c＝2a，根据双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a，又因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为b2tanπ4＝b2＝3，又b2a2＝3，所以a＝1，故C错误；设PF1的中点为O1，O为原点．因为OO1为△PF1F2的中位线，所以|OO1|＝12|PF2|＝12(|PF1|＋2a)＝12|PF1|＋a，则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故D正确．5．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足BA→·BP→＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.2B．2C.3D．3答案A解析如图，∵BA→·BP→＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－1k，依题意知kPB·kPA＝b2a2，∴－1k·(－k)＝b2a2，∴b2a2＝1，即e＝2.6．(2022·济宁模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论错误的是()A．若C的离心率为12，则直线PA1与PA2的斜率之积为－34B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是22，1D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是35，1答案D解析设P(x0，y0)，∴x20a2＋y20b2＝1，∵e＝ca＝12，∴a＝2c，∴a2＝43b2，∴12PAPAkk＝－b