2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题6 第2讲　圆锥曲线的方程与性质

第2讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(02a|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，若|F1F2|，|PF2|，|PF1|成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是()A.x225＋y216＝1B.x225＋y29＝1C.x281＋y29＝1D.x281＋y272＝1答案D解析由题意知，|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c＋2，|PF1|＝2c＋4，又PF2垂直于x轴，所以(2c)2＋(2c＋2)2＝(2c＋4)2，解得c＝3，又由椭圆定义可得2a＝2c＋2＋2c＋4＝18，即a＝9，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以椭圆C的方程为x281＋y272＝1.(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案4解析延长F2M交PF1于点Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝12|QF1|＝a＝4.易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1答案D解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m0时，2m＝4，m＝2；当m0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为()A．5B．52C．10D．102答案C解析设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.考点二椭圆、双曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝ca.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．考向1椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±233xD．y＝±2x答案B解析由题意知，渐近线方程为y＝±bax，焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r＝±ba·c1＋±ba2＝b，又该圆过线段OF2的中点，故c2＝r＝b，所以ba＝b2a2＝b2c2－b2＝33.所以渐近线方程为y＝±33x.考向2离心率问题例3(2022·山东名校大联考)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，AF2的中点P恰好落在y轴上，若BP→·AF2—→＝0，则椭圆C的离心率的值为()A.33B.13C.22D.12答案A解析依题意可知AB⊥x轴，且AB过左焦点F1，不妨设A－c，b2a，B－c，－b2a，P0，b22a，由于BP→·AF2—→＝0，所以c，3b22a·2c，－b2a＝2c2－3b42a2＝4a2c2－3a2－c222a2＝0，即4a2c2－3(a2－c2)2＝0，整理得(3c2－a2)(c2－3a2)＝0，解得3c2＝a2或c2＝3a2(舍去)，所以c2a2＝13，e＝33.规律方法(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2(1)(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C．2D．22答案C解析如图所示，右焦点F关于渐近线y＝bax的对称点A在渐近线y＝－bax上，由对称性可知，∠1＝∠2＝∠3，又∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，则ba＝tan60°＝3，∴b2＝3a2，即c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，∴e＝ca＝2.(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A.32B.22C.12D.13答案A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14.(*)因为点P在椭圆C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2(a2－m2)，代入(*)式，得b2a2＝14，所以e＝ca＝1－b2a2＝32.故选A.考点三抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.例4(1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，FM→＝55MN→，则p的值等于()A.18B．2C.14D．4答案B解析设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.因为|FM||MN|＝55，所以|MM′||MN|＝55，即cos∠NMM′＝|MM′||MN|＝55，所以cos∠OFA＝cos∠NMM′＝55，而cos∠OFA＝|OF||AF|＝p2p22＋22＝55，解得p＝2.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p0)，直线l：y＝22x－2p与C交于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别为点A1，B1，若四边形A1ABB1的面积为32，则p等于()A．2B.43C.455D．4答案B解析抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为Fp2，0，准线为x＝－p2.直线l：y＝22x－2p可化为y＝22x－p2，所以直线l过抛物线的焦点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l代入抛物线C消去y可得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝54p，x1x2＝14p2.又点A，B到准线的距离分别为x1＋p2，x2＋p2，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝94p，由抛物线性质可知四边形A1ABB1为直角梯形，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝22，得sinθ＝223，则四边形A1ABB1的高为h＝223|AB|＝322p，所以11AABBS四边形＝12×|AB|×h＝27216p2＝32，解得p＝43.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案x＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以|OF||PF|＝|PF||FQ|，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为()A．3B．4C．5D．6答案B解析由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，由AB→＝2BF→，可得|AB||BF|＝2，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，故|AB||BF|＝|AB||BE|＝2，故∠ABE＝π4，而BE∥x轴，故∠AFN＝π4，所以直线AB的倾斜角为π4，所以直线AB的方程为y＝x－1，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立y＝x－1，y2＝4x，整理可得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为()A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝12xD．y2＝16x答案B解析因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则p0，抛物线准线方程为x＝－p2，由抛物线定义得1－－p2＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.2．已知双曲线x2m－y2＝1(m0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为()A．y＝±24xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±12x答案A解析因为双曲线x2m－y2＝1(m0)的一个焦点为F(3,0)，所以由m＋1＝32，得m＝8，所以双曲线方程为x28－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±24x.3．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于()A．2B．22C．3D．32答案B解析方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设Ay204，y0