2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题6 第4讲 母题突破1　范围、最值问

第4讲圆锥曲线的综合问题[考情分析]1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．母题突破1范围、最值问题母题(2022·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点D(2,0)，过F的直线交抛物线C于M，N两点．设直线MD，ND与抛物线C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．思路分析❶点差法求kAB，kMN↓❷联立MN与抛物线方程↓❸联立AM，BN与抛物线方程↓❹kAB与kMN的关系↓❺构造tanα－β关于kAB的函数解当MN⊥x轴时，易得α＝β＝π2，此时α－β＝0.当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则直线MN的方程为y－y1＝y1－y2x1－x2(x－x1)，即y－y1＝y1－y2y214－y224(x－x1)，即y－y1＝4y1＋y2(x－x1)，即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x，tanα＝4y1＋y2.同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因为F(1,0)在MN上，所以y1y2＝－4.因为D(2,0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以y3＝－8y1，y4＝－8y2.所以y3＋y4＝－8y1－8y2＝－8y1＋y2y1y2＝－8y1＋y2－4＝2(y1＋y2)，y3y4＝64y1y2＝64－4＝－16，所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，所以tanβ＝2y2＋y1，所以tan(α－β)＝2y2＋y11＋8y2＋y12＝2y2＋y1y2＋y12＋8＝2×1y2＋y1＋8y2＋y1.当y2＋y10时，tan(α－β)0，所以不符合题意．当y2＋y10时，(y2＋y1)＋8y2＋y1≥42，tan(α－β)≤2×142＝24，当且仅当y2＋y1＝8y2＋y1，即y2＋y1＝22时取等号，此时α－β取得最大值，直线AB的方程为x－2y－4＝0.综上，当α－β取得最大值时，直线AB的方程为x－2y－4＝0.[子题1](2022·许昌模拟)已知双曲线C：x2－y22＝1，过点A(0，－1)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，求|GH||DE|的取值范围．解显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1，D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立y＝kx－1，x2－y22＝1，得(2－k2)x2＋2kx－3＝0，因为l与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，故2－k2≠0，x1x2＝3k2－20，Δ＝83－k20，解得－2k2，此时有x1＋x2＝2kk2－2.|DE|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·223－k22－k2，由y＝kx－1，y＝2x，解得x＝1k－2，设xG＝1k－2，同理可得xH＝1k＋2，所以|GH|＝1＋k2·1k－2－1k＋2＝22·1＋k22－k2.故|GH||DE|＝13－k2.因为－2k2，故33≤|GH||DE|1，故|GH||DE|的取值范围是33，1.[子题2]F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．设A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k≥0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．求四边形AEBF面积的最大值．解设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，联立y＝kx，x24＋y2＝1，消去y并整理得(1＋4k2)x2＝4，∴x1＝－24k2＋1，x2＝24k2＋1，∵A(2,0)，B(0,1)，∴直线AB的方程为x＋2y－2＝0，根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为h1＝|x1＋2kx1－2|5＝21＋2k＋1＋4k251＋4k2，h2＝|x2＋2kx2－2|5＝21＋2k－1＋4k251＋4k2，∴h1＋h2＝41＋2k51＋4k2，又|AB|＝22＋1＝5，∴四边形AEBF的面积为S＝12|AB|(h1＋h2)＝12×5×41＋2k51＋4k2＝21＋2k1＋4k2＝21＋4k＋4k21＋4k2＝21＋44k＋1k≤22，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，等号成立，∴四边形AEBF面积的最大值为22.规律方法求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系．(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．(4)利用基本不等式．1.(2022·平凉模拟)如图，已知椭圆C：x26＋y23＝1，点P(2,1)为椭圆C上一点．过点P作两直线l1与l2分别交椭圆C于A，B两点，若直线l1与l2的斜率互为相反数，求|AB|的最大值．解设直线l1为y＝k(x－2)＋1，则直线l2为y＝－k(x－2)＋1，联立y＝kx－2＋1，x26＋y23＝1，整理得(2k2＋1)x2＋(4k－8k2)x＋(8k2－8k－4)＝0，由Δ＝(4k－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－8k－4)＝16(k＋1)20，解得k≠－1，又由xAxP＝8k2－8k－42k2＋1，可得xA＝4k2－4k－22k2＋1，则yA＝k(xA－2)＋1＝－2k2－4k＋12k2＋1，同理可得xB＝4k2＋4k－22k2＋1，yB＝－2k2＋4k＋12k2＋1，所以|AB|2＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝128k22k2＋12＝1284k2＋1k2＋4≤12824k2·1k2＋4＝16，当且仅当k＝±22时，等号成立，因此，|AB|的最大值为4.2．(2022·青岛模拟)已知O为坐标原点，点E34，0，过动点W作直线x＝－14的垂线，垂足为点F，OW→·EF→＝0，记W的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若A1，B1，A2，B2均在C上，直线A1B1，A2B2的交点为P14，0，A1B1⊥A2B2，求四边形A1A2B1B2面积的最小值．解(1)设W(x，y)，则F－14，y，所以OW→＝(x，y)，EF→＝(－1，y)，因为OW→·EF→＝0，所以(x，y)·(－1，y)＝－x＋y2＝0，所以曲线C的方程为y2＝x.(2)设A1(x1，y1)，B1(x2，y2)，A2(x3，y3)，B2(x4，y4)，直线A1B1，A2B2的方程分别为x＝my＋14，x＝－ym＋14，将x＝my＋14代入抛物线y2＝x，得y2－my－14＝0，所以y1＋y2＝m，y1y2＝－14，所以|A1B1|＝1＋m2|y1－y2|＝1＋m2y1＋y22－4y1y2＝m2＋1，同理得|A2B2|＝1＋1m2，因为A1B1⊥A2B2，所以四边形A1A2B1B2的面积S＝12|A1B1|·|A2B2|＝12(1＋m2)1＋1m2＝122＋m2＋1m2≥2，当且仅当m＝±1时等号成立，所以四边形A1A2B1B2面积的最小值为2.专题强化练1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，A，F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2(2＋1)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线y＝kx－1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，求|MN||PQ|的最大值．解(1)因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则ca＝2，c＝2a，可得a＝b，由已知，将xB＝c＝2a代入x2a2－y2b2＝1，可得|yB|＝a，由S△ABF＝12|BF|·|AF|＝2(2＋1)，即12a(a＋c)＝2(2＋1)，解得a＝2，故双曲线的方程为x2－y2＝4.(2)依题意，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2－y2＝4，y＝kx－1，可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，所以1－k2≠0，Δ＝2k2－41－k2×－50，x1x2＝－51－k20，解得－1k1，且x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－51－k2，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·－2k1－k22－4×－51－k2＝21＋k2·5－4k21－k2，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由y＝x，y＝kx－1，得x3＝1k－1，同理得x4＝1k＋1，所以|PQ|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2·1k－1－1k＋1＝21＋k21－k2，所以|MN||PQ|＝21＋k2·5－4k21－k221＋k21－k2＝5－4k2，其中－1k1，因为5－4k2≤5，故|MN||PQ|的最大值为5.2．(2022·十堰模拟)已知抛物线C1：x2＝y，C2：x2＝－y，点M(x0，y0)在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B.记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3.(1)当x0＝1时，求k1＋k2的值；(2)当点M在C2上运动时，求1k1＋1k2－k1k2k3的取值范围．解(1)因为x0＝1，则有y0＝－1，设过点M并与C1相切的直线方程为y＝k(x－1)－1，联立方程组x2＝y，y＝kx－1－1，整理得x2－kx＋k＋1＝0，则Δ＝(－k)2－4(k＋1)＝k2－4k－4＝0，由题可知，k1，k2即为方程k2－4k－4＝0的两根，故有k1＋k2＝4.(2)因为y0＝－x20(x0≠0)可设过点M并与C1相切的直线方程为y＝k(x－x0)－x20，联立方程组x2＝y，y＝kx－x0－x20，整理得x2－kx＋kx0＋x20＝0，则有Δ＝k2－4x0k－4x20＝0，根据根与系数的关系可得k1＋k2＝4x0，k1k2＝－4x20，又k3＝－x20x0＝－x0，则有1k1＋1k2－k1k2k3＝k1＋k2k1k2－k1k2k3＝－1x0＋4x0，按照x00和x00两种情况讨论，如下，当x00时，1x0＋4x0≥21x0·4x0＝4，则有1k1＋1k2－k1k2k3≤－4，当且仅当x0＝12时，等号成立；当x00时，－1x0－4x0≥2－1x0·－4x0＝4，则有1k1＋1k2－k1k2k3≥4，当且仅当x0＝－12时，等号成立，故1k1＋1k2－k1k2k3的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．