2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题7 第1讲　坐标系与参数方程

第1讲坐标系与参数方程[考情分析]本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直线与曲线的位置关系等，中等难度．考点一极坐标方程核心提炼直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.例1(2022·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的方程为x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)曲线C3：θ＝αρ0，0απ2分别交曲线C2和曲线C1于点A，B，求|OB||OA|的最大值及相应α的值．解(1)曲线C1的方程为x2＋y2＝2y，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，由曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22，令θ＝α，则|OA|＝4cosα＋sinα，又因为|OB|＝2sinα，∴|OB||OA|＝12sinα(sinα＋cosα)＝12sin2α＋12sinαcosα＝14(1－cos2α＋sin2α)＝24sin2α－π4＋14.∵0απ2，∴－π42α－π43π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，|OB||OA|取得最大值1＋24.易错提醒在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．跟踪演练1(2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy中，⊙C1的圆心为C1(1,1)，半径为2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C2的极坐标方程为ρ＝22cosθ.(1)求⊙C1的极坐标方程，并判断⊙C1，⊙C2的位置关系；(2)求经过曲线C1，C2交点的直线的斜率．解(1)由题意，⊙C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，故⊙C1的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，即ρ＝2cosθ＋2sinθ，又⊙C2的极坐标方程为ρ2＝22ρcosθ，即x2＋y2＝22x，即(x－2)2＋y2＝2.因为|C1C2|＝2－12＋0－12＝4－22，⊙C1与⊙C2半径相等，半径和为22，且0|C1C2|＝4－224＝222，故⊙C1，⊙C2相交．故⊙C1的极坐标方程ρ＝2cosθ＋2sinθ，⊙C1，⊙C2相交．(2)由(1)得，⊙C1：ρ＝2cosθ＋2sinθ，⊙C2：ρ＝22cosθ均经过极点且相交，联立ρ＝2cosθ＋2sinθ，ρ＝22cosθ，有2cosθ＋2sinθ＝22cosθ，显然cosθ≠0，故2＋2tanθ＝22，即tanθ＝2－1，即经过曲线C1，C2交点的直线的斜率为2－1.考点二参数方程核心提炼常见曲线的参数方程(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα.(α为参数)当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα.(α为参数)(2)椭圆椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ.(φ为参数)椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程为x＝bcosφ，y＝asinφ.(φ为参数)(3)直线经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)例2(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋t6，y＝t(t为参数)，曲线C2的参数方程为x＝－2＋s6，y＝－s(s为参数)．(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．解(1)由y＝t，得t＝y2(y≥0)，代入x＝2＋t6，可得x＝2＋y26，即y2＝6x－2(y≥0)，所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)．(2)曲线C3的极坐标方程可化为2ρcosθ－ρsinθ＝0，所以普通方程为y＝2x.由y＝－s，得s＝y2(y≤0)，代入x＝－2＋s6，可得x＝－2＋y26，即y2＝－6x－2(y≤0)．由y2＝6x－2y≥0，y＝2x，得x＝12，y＝1或x＝1，y＝2，所以C3与C1交点的直角坐标为12，1，(1,2)．由y2＝－6x－2y≤0，y＝2x，得x＝－12，y＝－1或x＝－1，y＝－2，所以C3与C2交点的直角坐标为－12，－1，(－1，－2)．规律方法把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方和(差)消参法、乘法消参法、混合消参法等．把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．跟踪演练2(2022·海东模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x＝－3t，y＝t(t为参数)．曲线C2的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)若曲线C1，C2的交点为A，B，已知P(3，－1)，求|PA|·|PB|.解(1)曲线C1：x＝－3t，y＝t(t为参数)，消去参数t得x＋3y＝0，化成极坐标方程得ρcosθ＋3ρsinθ＝0，化简极坐标方程为ρsinθ＋π6＝0或θ＝5π6，ρ∈R.曲线C2：x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，消去参数θ得x2＋y2＝16，化成极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P在曲线C1上，将曲线C1化为标准参数方程x＝3－32t，y＝－1＋12t(t为参数)，代入C2的直角坐标方程x2＋y2＝16，得3－32t2＋－1＋12t2＝16，即t2－4t－12＝0，即A，B所对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝12.考点三极坐标与参数方程的综合应用核心提炼解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．例3(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cos2t，y＝2sint(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π3＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．解(1)直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π3＋m＝0，即ρsinθ＋3ρcosθ＋2m＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得l的直角坐标方程为3x＋y＋2m＝0.(2)曲线C的参数方程为x＝3cos2t，y＝2sint(t为参数)，将sint＝y2代入x＝3cos2t＝3(1－2sin2t)，得曲线C的普通方程为y2＝－233x＋2(－2≤y≤2)．联立直线l与曲线C的方程，得3x＋y＋2m＝0，y2＝－233x＋2(－2≤y≤2)，消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)．方法一若直线l与曲线C有公共点，则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，所以－1912≤m≤52，即m的取值范围为－1912，52.方法二所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，因为3y2－2y－6＝3y2－23y－6＝3y－132－193，所以当－2≤y≤2时，－193≤3y2－2y－6≤10，即－193≤4m≤10，则－1912≤m≤52，即m的取值范围为－1912，52.规律方法解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．跟踪演练3(2022·张掖模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3t，y＝1－t2(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝3.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)在极坐标系中，射线α＝π6(ρ≥0)与曲线C1交于点A，射线α＝π3(ρ≥0)与曲线C2交于点B，求△AOB的面积．解(1)由题意得x23＝t2，t2＝1－y2y≥0，∴x23＋y2＝1(y≥0)，∴ρ2cos2β＋3ρ2sin2β－3＝0，即ρ2＋2ρ2sin2β－3＝0.化简为ρ2(2－cos2β)－3＝0，β∈[0，π]，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2(2－cos2β)－3＝0，β∈[0，π]；由ρsinθ＋π6＝3得ρ32sinθ＋12cosθ＝3，∴32y＋12x－3＝0，即3y＋3x－6＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为3y＋3x－6＝0.(2)由α＝π6，ρ22－cos2α－3＝0得ρ＝2，∴A2，π6，由α＝π3，ρsinα＋π6＝3得ρ＝3，∴B3，π3，S△AOB＝12ρA·ρBsinπ3－π6＝12×2×3×sinπ6＝64.专题强化练1．(2022·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点M(－1,0)，且其倾斜角α＝π3，曲线C的参数方程为x＝sinφ＋2cosφ，y＝2sinφ－cosφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|MA|＋1|MB|的值．解(1)由题意得直线l的参数方程是x＝－1＋tcosπ3，y＝tsinπ3(t为参数)，即x＝－1＋12t，y＝32t(t为参数)，由曲线C的参数方程知，x2＝sin2φ＋4sinφcosφ＋4cos2φ，y2＝4sin2φ－4sinφcosφ＋cos2φ，得x2＋y2＝5，即曲线C的普通方程是x2＋y2＝5，又x2＋y2＝ρ2，故曲线C的极坐标方程是ρ＝5.(2)将直线l的参数方程x＝－1＋12t，y＝32t(t为参数)代入x2＋y2＝5，整理得t2－t－4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝1，t1t2＝－40，则t1，t2为一正一负，所以1|MA|＋1|MB|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1|＋|t2||t1||t2|＝|t1－t2||t1t2|＝174.2．(2022·绵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋22cosα，y＝－2＋22sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为2，3π2，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋π4＋1＝0.(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；(2)若N为曲线C上的动点，求MN的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．解(1)由x＝2cos3π2＝0，y＝2sin3π2＝－2，得点M的直角坐标为