2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第3部分 思想方法　第1讲　函数与方程思想

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲函数与方程思想思想概述函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．方法一运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．例1(1)(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝－ax2＋4x－52，x1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围为()A.32，2B.52，3C.32，3D.2，52思路分析分段函数是－∞，＋∞上的增函数→每一段都为增函数→x＝1右侧的函数值不小于左侧的函数值求解答案A解析函数f(x)＝－ax2＋4x－52，x1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，所以a0，42a≥1，a1，－a＋4－52≤0，解得32≤a≤2，所以实数a的取值范围是32，2.批注在函数的第一段中，虽然没有x＝1，但当x＝1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最大值”，为了保证函数是增函数，这个“最大值”应不大于第二段的最小值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点．(2)(2022·河南名校联盟联考)已知ab＝b，b≤a，a，ba，且函数f(x)＝2212xx(0≤x3)，对定义域内的任意的x，恒有Mf(x)＝f(x)，则正数M的取值范围为()A.18，＋∞B.0，18C．[2，＋∞)D．(0,2]思路分析“”的定义，表示取小→有Mfx＝fx知，M≥fx→求fx的最大值答案C解析令t＝x2－2x(0≤x3)，则t∈[－1,3)，则f(t)＝12t∈18，2，因为ab＝b，b≤a，a，ba，又对定义域内的任意的x恒有Mf(x)＝f(x)，所以M≥2，正数M的取值范围为[2，＋∞)．批注本题关键是理解“”的含义，对于复合函数f(x)的最值、值域问题，应采用换元法，变成常见的二次和指数函数．规律方法解答本题，首先要明确分段函数和增函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据增函数的定义，两段函数都是增函数，但这不足以说明整个函数是增函数，还要保证在两段的衔接处呈增的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二利用函数性质解不等式、方程问题函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题．例2(1)(2022·山东名校大联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝3x－1，则使不等式f(ex－3e－x)89成立的x的取值范围是()A．(ln3，＋∞)B．(0，ln3)C．(－∞，ln3)D．(－1,3)思路分析解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断fx的单调性答案C解析当x0时，f(x)＝3x－1单调递增且f(x)0，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0满足f(x)＝3x－1，所以函数y＝f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，f(－2)＝－89，所以f(2)＝－f(－2)＝89，f(ex－3e－x)89＝f(2)，所以ex－3e－x2，即e2x－2ex－30，(ex－3)(ex＋1)0，又ex＋10，所以ex3，xln3，即原不等式的解集为(－∞，ln3)．(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2022(x－1)＝－1，(y－1)3＋2022(y－1)＝1，则x＋y＝________.思路分析观察两方程形式特征→借助函数ft＝t3＋2022t的单调性、奇偶性→fx－1＝f1－y→求出x＋y)答案2解析令f(t)＝t3＋2022t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数．由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，可得x－1＝1－y，则x＋y＝2.规律方法函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题．方法三构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果．例3(2022·浙江山水联盟联考)已知实数a，b∈(1，＋∞)，且log3a＋logb3＝log3b＋loga4，则()A.abaB．baaC.aabD．aba思路分析log3a－loga4＝log3b－logb3→log3b－1log3blog3a－1log3a，log3b－1log3blog4a－1log4a→构造函数y＝x－1x→利用函数的性质求解答案A解析由log3a－loga4＝log3b－logb3可得log3b－1log3b＝log3a－1log4alog3a－1log3a，因为y＝x－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且log3a，log3b∈(0，＋∞)，所以log3blog3a，即ba，其次，log3b－1log3blog4a－1log4a，所以log3blog4a，又因为log4a＝log2alog3a且y＝log3x单调递增，所以由log3blog3a可知ba，综上，aba.规律方法在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的两个变量，揭示函数关系使问题明晰化．