2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 微重点2　函数的嵌套与旋转、对称

微重点2函数的嵌套与旋转、对称问题函数的嵌套与旋转、对称问题在高考中经常出现，主要与函数的性质、函数的零点综合，考查判断函数的零点、方程的根的个数、求参数问题，以及求函数的函数值、值域等，难度较大，主要以选择、填空的形式出现．考点一嵌套函数中的零点问题考向1函数的零点个数问题例1已知函数f(x)＝lnx＋1，x≥0，－xex，x0，函数g(x)＝f(f(x))－12的零点个数为()A．4B．3C．2D．1答案D解析令u＝f(x)，令g(x)＝0，则f(u)－12＝0，当u≥0时，则f(u)＝ln(u＋1)，所以ln(u＋1)＝12，所以u＝e－1.当u0时，f(u)＝－ueu，则f′(u)＝－(u＋1)eu，当u－1时，f′(u)0；当－1u0时，f′(u)0.此时，函数y＝f(u)在u＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝1e12.所以当u0时，f(u)12，则方程f(u)－12＝0在u0时无解．再考虑方程f(x)＝e－1的根的个数，作出函数u＝f(x)与u＝e－1的图象如图所示，由于e－1121e，所以直线u＝e－1与函数u＝f(x)的图象只有一个交点，因此，函数g(x)只有一个零点．考向2求参数的取值范围例2(2022·安康质检)已知函数f(x)＝lnx，x0，－x2－4x－3，x≤0，若函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点，则m的取值范围是()A.－2，103B.－2，103C.2，103D.2，103答案D解析设t＝f(x)，则y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函数f(x)的大致图象，如图所示，则函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点等价于g(t)＝0在[－3,1)上有两个不同的实数根，则m2－40，g－3＝9－3m＋1≥0，g1＝1＋m＋10，－3－m21，解得2m≤103.规律方法解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解．跟踪演练1(1)(2022·天津质检)已知定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足：∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－lnx)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为()A．3B．2C．1D．0答案A解析因为定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－lnx)＝1，则存在唯一正实数t使得f(t)＝1，且f(x)－lnx＝t，即f(x)＝t＋lnx，于是得f(t)＝t＋lnt＝1，而函数y＝t＋lnt在(0，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，t＋lnt＝1，因此t＝1，f(x)＝1＋lnx，方程f(x)＝－x2＋4x－2＝1＋lnx，即lnx＝－x2＋4x－3，于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝lnx与y＝－x2＋4x－3的图象公共点个数，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝－x2＋4x－3的图象，如图所示，观察图象知，函数y＝lnx与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3.(2)(2022·江西重点中学联考)函数f(x)＝x2－2x，x≤0，2xex，x0，若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A.1，e＋2eB.1，e2＋2e2C.1，e2＋2e2D.1，e＋2e答案D解析当x0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2－2xex，所以当x∈(0,1)时，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，所以当x0时，f(x)＝2xex在x＝1处取最大值为2e.作出函数f(x)的图象如图所示，因为[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0，即[f(x)－a＋1][f(x)－1]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝a－1，当f(x)＝1时，观察图象易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，则需要y＝a－1与f(x)图象有三个不同交点，只需要0a－12e，即1ae＋2e.考点二函数的旋转例3(2022·青岛模拟)将函数y＝13－x2－2(x∈[－3,3])的图象绕点(－3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为()A.32B.23C．1D.3答案B解析由y＝13－x2－2(x∈[－3,3])，得x2＋(y＋2)2＝13(x∈[－3,3])，原函数的图象是以(0，－2)为圆心，以13为半径的圆的部分，如图，设过(－3,0)与圆x2＋(y＋2)2＝13相切的直线的斜率为k，倾斜角为β，则直线方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.由|2＋3k|k2＋1＝13，解得k＝32，则tanβ＝32.要使对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则当α最大为θ时，函数在(－3,0)处的切线为x＝－3，即β＋θ＝π2，则tanθ＝tanπ2－β＝1tanβ＝23.规律方法函数的旋转，要使旋转后需满足函数的定义，则每个自变量，都有唯一的函数值与之对应．跟踪演练2函数y＝f(x)定义在R上，已知y＝f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，则关于方程f(x)＝x的根，下列说法正确的是()A．没有实根B．有且仅有一个实根C．有两个实根D．有两个以上的实根答案B解析∵函数y＝f(x)定义在R上，y＝f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，∴f(x)与其反函数是同一个函数，∴f(x)关于y＝x对称，原点(0,0)是它的对称点，当f(x)＝x时，2y＝x，y＝x，解得x＝y＝0，是唯一解．∴方程f(x)＝x有且仅有一个实数根．考点三函数的对称问题例4已知函数f(x)＝ax－ex与函数g(x)＝xlnx＋1的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为()A．(e－1，＋∞)B.e－12，＋∞C.e－12，＋∞D．(－∞，e－1)答案A解析由已知可得，方程f(x)＝－g(x)在(0，＋∞)上有两解，即a＝exx－lnx－1x在(0，＋∞)上有两解．设h(x)＝exx－lnx－1x，则h′(x)＝exx－1x2－1x＋1x2＝x－1ex－1x2，令h′(x)＝0，得x＝1，∴当0x1时，h′(x)0；当x1时，h′(x)0，∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴当x＝1时，h(x)取得最小值h(1)＝e－1，∵x→0时，h(x)→＋∞；x→＋∞时，h(x)→＋∞，∴实数a的取值范围是(e－1，＋∞)．规律方法注意区分函数图象关于点对称和轴对称、函数本身的对称性和两函数的对称性，会在函数解析式中寻找对称性．跟踪演练3(2022·山东联考)函数f(x)＝1＋sinπx－xsinπx在区间－52，92上的所有零点之和为()A．0B．3C．6D．12答案C解析函数f(x)＝1＋sinπx－xsinπx的零点就是函数y＝sinπx与y＝1x－1的图象公共点的横坐标．如图，因为函数y＝sinπx与y＝1x－1的图象均关于点(1,0)成中心对称，且函数y＝sinπx与y＝1x－1的图象在区间－52，92上共有6个公共点，它们关于点(1,0)对称，所以函数f(x)在区间－52，92上共有6个零点，它们的和为3×2＝6.专题强化练1．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现判断函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为()A.12，1B.－12，1C.12，－1D.－12，－1答案A解析依题意，得f′(x)＝x2－x＋3，所以f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，得x＝12，又f12＝1，故函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为12，1.2．(2022·山东省实验中学检测)已知函数f(x)＝lnx－1x，x0，x2＋2x，x≤0，则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析令t＝f(x)＋1＝lnx－1x＋1，x0，x＋12，x≤0.①当t0时，f(t)＝lnt－1t，f′(t)＝1t＋1t20，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－10，f(2)＝ln2－120，由零点存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)＝0；②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有2个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有2个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有1个交点．综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.3．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝2对称，则实数a的值为()A．－15B．8C．－8D．4答案C解析由已知可得，±1是f(x)的两个零点，因为函数图象关于直线x＝2对称，因此3和5也是f(x)的零点，即3和5是函数y＝x2＋ax＋b的零点，所以3＋5＝－a，解得a＝－8.4．将函数f(x)＝ex(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，π])得到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图象，则θ的取值不可能为()A.π8B.π4C.π2D．π答案A解析要使曲线C仍然是一个函数的图象，则需满足在旋转过程中，曲线C的任意切线的倾斜角小于等于π2，由f(x)＝ex(x≥0)，则f′(x)＝ex∈[1，＋∞)，当且仅当x＝0时，f′(x)取得最小值，即在x＝0处的切线的斜率最小，此时倾斜角为π4，故θ∈π4，π.5．(2022·广东联考)已知函数f(x)＝ex，x≥0，－x2－4x，x0，方程[f(x)]2－t·f(x)＝0有4个实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1x2x3x4，则下列说法正确的是()A．x1x4∈(－6ln2,0]B．x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为[－8，－8＋2ln2)C．t的取值范围为[1,4]D．x2x3的最大值为4答案B解析由[f(x)]2－t·f(x)＝0，即f(x)[f(x)－t]＝0，得f(x)＝0或f(x)＝t，作出y＝f(x)的图象，如图所示，当f(x)＝0时，x1＝－4，有1个实数根；由f(x)＝t知，当t＝1时，有3个实数根，所以共4个实数根，满足题意；当t＝4时，f(x)＝t只有2个实数根，所以共3个实根，不满足题意，此时与y＝ex的交点坐标为(2ln2,4)．要使原方程有4个实数根，等价于f(x)＝t有3个实数根，等价于y＝f(x)与y＝t的图象有3个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(－8ln2,0]，故A错误，C错误；又因为x2＋x3＝－4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8＋x4，其取值范围为[－8，－8＋2ln2)，故B正确；因为x2＋x3＝－4，x2x30，所以x2x3＝(－x2)·(－x3)－x2＋x322＝4，故D错误．6．(2022·徐州质检)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中一定不是g(f(x))的是()A．x2＋2xB．x＋1C．ecosxD．ln(|x|