2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 微重点3　导数中的函数构造问题

微重点3导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1利用f(x)与x构造例1(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log218·flog218，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．acbD．cab答案B解析因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)0成立，所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减，又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，则a＝g(20.6)，b＝g(ln2)，c＝glog218，因为20.61,0ln21，log218＝－30，所以log2180ln2120.6，所以cba.规律方法(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝fxxn.跟踪演练1已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－fxx－30，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex0的解集为()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(e，＋∞)答案C解析设g(x)＝fxx－3lnx，则g′(x)＝xf′x－fxx2－3x＝xf′x－fx－3xx2.因为f′(x)－fxx－30，x0，所以xf′(x)－f(x)－3x0，所以g′(x)0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增．不等式f(ex)－3xex0可转化为fexex－3lnex0，又g(ex)＝fexex－3lnex，且g(1)＝f11－3ln1＝0，即g(ex)g(1)，所以ex1，解得x0.考向2利用f(x)与ex构造例2(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则()A．f(2022)ef(2023)B．ef(2022)f(2023)C．ef(2022)＝f(2023)D．ef(2022)f(2023)答案B解析设函数g(x)＝fxex，可得g′(x)＝f′x－fxex，由f(x)f′(x)，可得f′(x)－f(x)0，所以g′(x)0，所以g(x)单调递增，则f2022e2022f2023e2023，即ef(2022)f(2023)．规律方法(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝fxenx.跟踪演练2(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)0，且f(3)＝3，则f(x)3e3－x的解集为________．答案(3，＋∞)解析设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]0，∴F(x)在R上单调递增．又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)3e3－x等价于f(x)·ex3e3，即F(x)F(3)，∴x3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3利用f(x)与sinx，cosx构造例3偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，其导函数为f′(x)，若对任意的x∈0，π2，有f′(x)·cosxf(x)sinx成立，则关于x的不等式2f(x)fπ3cosx的解集为________．答案－π2，－π3∪π3，π2解析令g(x)＝f(x)cosx，x∈－π2，π2，∴g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝f(x)cosx＝g(x)，∴g(x)为偶函数，又g′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx，∴当x∈0，π2时，g′(x)0，即g(x)在0，π2上单调递减．又g(x)为偶函数，∴g(x)在－π2，0上单调递增，不等式2f(x)fπ3cosx可化为f(x)cosxfπ3cosπ3，即g(x)gπ3，则|x|π3，－π2xπ2，解得－π2x－π3或π3xπ2.故不等式2f(x)fπ3cosx的解集为－π2，－π3∪π3，π2.规律方法函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；(2)F(x)＝fxsinx，F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x；(3)F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；(4)F(x)＝fxcosx，F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.跟踪演练3已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)在0，π2上恒有fxsinxf′xcosx成立，则下列不等式成立的是()A.2fπ6fπ4B．f－π33f－π6C.3f－π42f－π3D.2fπ33fπ4答案B解析构造函数F(x)＝fxsinx，由f(x)在0，π2上恒有fxsinxf′xcosx成立，即f′(x)sinx－f(x)cosx0，∴F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsinx20，∴F(x)在0，π2上单调递增，又F(－x)＝f－xsin－x＝－fx－sinx＝F(x)，∴F(x)为偶函数，∵π6π4，∴Fπ6Fπ4，∴fπ6sinπ6fπ4sinπ4，∴2fπ6fπ4，故A错误；∵偶函数F(x)在0，π2上单调递增，∴F(x)在－π2，0上单调递减，∵－π3－π6，∴F－π3F－π6，∴f－π3sin－π3f－π6sin－π6，∴－f－π3－3f－π6，∴f－π33f－π6，故B正确；F－π4F－π3，∴f－π4sin－π4f－π3sin－π3，∴－3f－π4－2f－π3，∴3f－π42f－π3，故C错误；∵π3π4，∴Fπ3Fπ4，∴fπ3sinπ3fπ4sinπ4，∴2fπ33fπ4，故D错误．考点二同构法构造函数例4已知a0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为________．答案e解析∵xa＝lnlneeaxax，∴不等式即为ex－x≤ealnx－alnx.由a0且x1得alnx0，设y＝ex－x，则y′＝ex－10，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，∴x≤alnx，即a≥xlnx，即存在x∈(1，＋∞)，使a≥xlnx，∴a≥xlnxmin，设f(x)＝xlnx(x1)，则f′(x)＝lnx－1ln2x，当x∈(1，e)时，f′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0；∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex，然后构造函数；另一种是将x变成elnx，然后构造函数．跟踪演练4已知a0，b0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，则()A．ab＋1B．ab＋1C．ab－1D．ab－1答案B解析因为(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，a0，b0，所以lna＋1a＝lnb＋3b＋1lnb＋2b＋1.设f(x)＝lnx＋1x(x0)，则f′(x)＝xx＋1－lnx＋1x2.设g(x)＝xx＋1－ln(x＋1)(x0)，则g′(x)＝1x＋12－1x＋1＝－xx＋120，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．当x→0时，g(x)→0，所以g(x)0，即f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(a)f(b＋1)，所以ab＋1.专题强化练1．(2022·咸阳模拟)设实数a＝ln23，b＝ln38，c＝1e2－1，那么a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．acbD．bca答案C解析a＝ln222－1，b＝ln332－1，c＝lnee2－1，令f(x)＝lnxx2－1，x1，∴f′(x)＝1xx2－1－2xlnxx2－12＝x－1x－2xlnxx2－12＝x1－1x2－2lnxx2－12.令g(x)＝1－1x2－2lnx，x1，∴g′(x)＝2x3－2x＝21－x2x30，∴g(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴g(x)g(1)＝0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，又2e3，∴f(2)f(e)f(3)，即acb.2．(2022·哈尔滨模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x0，且f(1)＝3，则f(x)x2＋2的解集是()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案B解析令g(x)＝f(x)－x2，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)x2＋2即为不等式g(x)2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)g(1)，所以|x|1，解得x－1或x1，所以f(x)x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeablnb，则()A．abeB．beaC．abeD．bea答案B解析由已知aeablnb，则ealneablnb.设f(x)＝xlnx，则f(ea)f(b)．因为a0，b0，则blnb0，得b1，ea1.当x1时，f′(x)＝lnx＋10，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以eab.4．(2022·常州模拟)已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，则下列说法正确的是()A．f5π6－f7π6－f－π6B．－f7π6f5π6－f－π6C．－f－π6－f7π6f5π6D．－f－π6f5π6－f7π6答案D解析令g(x)＝f(x)sinx，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，又当x0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，即g′(x)0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则有g－π6＝gπ6g5π6g7π6，即－12f－π612f5π6－12f7π6，即－f－π6f5